Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten ck(f)

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei die 2π-periodische Funktion f mit

f(t) = { 2 für t ∈ [0, π),
0 für t ∈ [π, 2π).

Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten c_k(f) = \( \frac{1}{2π} \) * \( \int\limits_{0}^{2π} \) f(t) * e^-ikt dt für k ∈ Ζ

Problem/Ansatz:

Möchte wissen, ob meine Vorgehensweise korrekt ist.

Ich habe erstmal das Integral von der Formel für c_k(f) in 2 Teile aufgeteilt ( \( \frac{1}{2π} \) * (\( \int\limits_{0}^{π} \) 2 * e^-ikt dt + \( \int\limits_{π}^{2π} \) 0 * e^-ikt dt). Das zweite Teil ist dann gleich null.

Danach habe ich das integral gelöst, zum Schluss habe ich dann \( \frac{1}{π} \) *  \( \frac{e^{-ikπ} -1}{-ik} \)

Dann gilt für k ∈ Ζ:

c_2k(f) = 0, da e^-ikπ = 1 für gerade k ∈ Ζ
c_2k+1(f) = \( \frac{1}{π} \) * \( \frac{1}{i(2k+1)} \)

Meine Fragen sind:
1) Ist das überhaupt richtig, das Integral so zu teilen?
2) Ist die Form vom Koeffizient, so ich wie ich sie aufgeschrieben habe, richtig? Oder kann man das noch vereinfachen?
3) Wenn alles falsch ist, soll ich erst a_k, dann b_k, und daraus c_k berechnen?

Answer 1

Das ist alles richtig, bis auf \(c_{2k+1}=\frac2{i\pi(2k+1)}\).

Anmerkungen: Das Aufteilen des Integrals ist genau richtig, anders geht es auch nicht gut.

Vereinfachungen: beachte, dass \(\frac1i=-i\) ist und \(e^{ik\pi}=e^{-ik\pi}=(-1)^k\).

Ich würde am Ende angeben, \(c_k=\frac{i((-1)^k-1)}{\pi k}\).

Oder (ist aber nicht nötig): \(c_k=.... \) für \(k\) gerade und \(c_k=...\) für \(k\) ungerade. Nur wenn man es in einer Reihe notieren soll (ist bei solchen Aufgaben aber oft nicht verlangt), muss man es mit \(c_{2k}\) und \(c_{2k+1}\) schreiben. Faustregel: Immer nur die Anforderungen aus der Aufgabe erfüllen, nicht mehr als nötig (schon gar nicht in der Klausur).

Und: der Malpunkt ist in LaTeX \cdot.

Answer 2

Hallo

Ich sehe keinen Fehler also alles richtig

Gruß lul