Tangente an der Stelle des arithmetischen Mittels zweier Nullstellen

Question

Gegeben sei eine kubische Funktion mit drei verschiedenen Nullstellen. Zeige: Ihre Tangente an der Stelle des arithmetischen Mittels zweier benachbarter Nullstellen geht durch die dritte Nullstelle.

Comments

Die Aufgabe schreit ja gerade zu nach einem Desmos-Script

https://www.desmos.com/calculator/pz4dzqwp2p

Die Nullstellen lassen sich (natürlich!) mit der Maus verschieben.

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Hinweis: Die Einschränkungen 'verschieden' (Nullstellen) und 'benachbart' sind unnötig.

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Es müssen nicht die benachbarten Nullstellen sein, es funktioniert auch mit den beiden außen liegenden.

Es funktioniert sogar, wenn es eine einfache und eine doppelte Nst. gibt.

(Werner war schneller).

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Ihre Tangente ... geht durch die dritte Nullstelle.

@Roland: Du weißt schon, dass du hier Fachbegriffe fehlerhaft verwendest?
Das wollte ich schon vor 8 Stunden schreiben, hatte aber da keine Zeit für nähere Erläuterungen.

Answer 1

Funktion mit drei Nullstellen in der faktorisierten Form aufstellen. Dabei kann auch eine doppelte oder gar dreifache Nullstelle auftreten.

f(x) = a·(x - b)·(x - c)·(x - d)

Ausmultiplizieren und zusammenfassen

f(x) = a·x^3 - (a·b + a·c + a·d)·x^2 + (a·b·c + a·b·d + a·c·d)·x - a·b·c·d

Ableitung bestimmen

f'(x) = 3·a·x^2 - 2·(a·b + a·c + a·d)·x + (a·b·c + a·b·d + a·c·d)

Tangentengleichung an der Stelle x = (b + c)/2 aufstellen.

t(x) = f'((b + c)/2)·(x - (b + c)/2) + f((b + c)/2)
t(x) = - a·(b^2 - 2·b·c + c^2)/4·(x - (b + c)/2) - a·(b - c)^2·(b + c - 2·d)/8
t(x) = a·(b^2 + c^2 - 2·b·c)/4·(d - x)

Diese Tangente hat die Nullstelle x = d

Answer 2

\(f(x)=(x-1)(x-3)(x-\red{8})=x^3-12x^2+35x-24\)

arithmetisches Mittel: \(x=2\)

\(f(2)=(2-1)(2-3)(2-8)=6\) 

Berührpunkt: B\((2|6)\)

\(f'(x)=3x^2-24x+35\)

\(f'(2)=12-48+35=-1\)

Tangente:

\( \frac{y-6}{x-2}=-1 \)

\( y=8-x \)

\( 8-x=0 \)

\(x=\red{8}\)

Comments

Die gesuchte allgemeine Lösung wid einfacher, wenn du in der ersten Zeile nicht ausmultiplizierst.
Am besten zeigt man dazu, dass die Tangente durch die dritte Nullstelle den Graphen beim arithmetischen Mittel der ersten beiden Nullstellen berührt.

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Das ist die Lösung für die Nullstellen 1, 3 und 8.

Wie sieht es für die unendlich vielen anderen Varianten aus?

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Das ist die Lösung

genauer : eine Lösung

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Ja, natürlich. Aber so ist es halt:

Ein 24-er Moliets auf nebliger Hanglage, mit einer zarten Note von Selbstüberschätzung und Geltungsbedürfnis im Bukett und mit unangenehmen Brennen im Abgang...

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Da AM eine Komplett-Lösung geliefert hat, kann ich meinen Kommentar von oben wie folgt ausführen :

f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) hat die Ableitung f'(x) = (x-b)(x-c) + (x-a)(x-c) + (x-a)(x-b)
Graphen kubischer Funktionen sind symmetrisch zu ihrem Wendepunkt, sei also c keine Wendestelle.
Die Berührstelle der Tangente durch (c|0) an den Graphen sei x=d. Dann ergibt sich für die Tangentensteigung f'(d) = (f(d)-0) / (d-c)
also (d-b)(d-c) + (d-a)(d-c) + (d-a)(d-b) = (d-a)(d-b)(d-c) / (d-c) = (d-a)(d-b)
und weiter (d-b)(d-c) + (d-a)(d-c) = 0,
woraus wegen d≠c folgt, dass d-a + d-b = 0 , mithin d = (a+b)/2 ist.

Nachtrag : AMs bearbeitete Version kommt meiner Lösung jetzt ziemlich nahe.

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Ja, ich hatte es irgendwie verpeilt, direkt mit der Produktregel zu arbeiten. Sah ich dann, als ich es fertig getippt hatte. Mit der Produktregel wird es recht kurz und elegant, wie ich finde.

Ein schönes Beispiel, wo man sieht, das Ausmultiplizieren nicht immer das beste Mittel ist. ;)

Answer 3

Ansatz \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\). O.B.d.A. sei aber \(a=1\), sonst dividiere durch \(a\neq 0\). Es sei weiter \(t(x)=mx+b\) die Tangente mit Nullstelle \(x_3=-\frac{b}{m}\).

Wir bestimmen durch Gleichsetzen die zweite Schnittstelle. Zusätzlich sei \(m\neq 0\) (und damit \(x_1\neq x_2\)). Wir erhalten

\((x-x_1)(x-x_2)(x+\frac{b}{m})=mx+b=m(x+\frac{b}{m})\).

Da uns die offensichtliche Lösung \(x=-\frac{b}{m}\) nicht interessiert, dürfen wir ohne Schwierigkeiten durch diesen Linearfaktor dividieren und erhalten für die Steigung

\(m=(x-x_1)(x-x_2)\).

Andererseits liefert die Ableitung

\(\begin{aligned}f'(x)&=(x-x_1)(x-x_2)+(x-x_1)(x-x_3)+(x-x_2)(x-x_3)\\&=(x-x_1)(x-x_2)+(2x-x_1-x_2)(x-x_3).\end{aligned}\)

Der zweite Summand verschwindet nun allerdings für \(x=\frac{x_1+x_2}{2}\), so dass \(f'(x)=m\) an dieser Stelle erfüllt ist. Damit ist \(t(x)\) tatsächlich Tangente am Graphen von \(f\) an der Stelle des arithmetischen Mittels der beiden anderen Nullstellen.

Im Fall \(m=0\) ist \(x=x_1\) oder \(x=x_2\). In diesem Fall liegt dort eine doppelte oder sogar dreifache Nullstelle vor. Die Tangente ist dann die Nullfunktion und die Aussage trivial.