Ansatz \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\). O.B.d.A. sei aber \(a=1\), sonst dividiere durch \(a\neq 0\). Es sei weiter \(t(x)=mx+b\) die Tangente mit Nullstelle \(x_3=-\frac{b}{m}\).
Wir bestimmen durch Gleichsetzen die zweite Schnittstelle. Zusätzlich sei \(m\neq 0\) (und damit \(x_1\neq x_2\)). Wir erhalten
\((x-x_1)(x-x_2)(x+\frac{b}{m})=mx+b=m(x+\frac{b}{m})\).
Da uns die offensichtliche Lösung \(x=-\frac{b}{m}\) nicht interessiert, dürfen wir ohne Schwierigkeiten durch diesen Linearfaktor dividieren und erhalten für die Steigung
\(m=(x-x_1)(x-x_2)\).
Andererseits liefert die Ableitung
\(\begin{aligned}f'(x)&=(x-x_1)(x-x_2)+(x-x_1)(x-x_3)+(x-x_2)(x-x_3)\\&=(x-x_1)(x-x_2)+(2x-x_1-x_2)(x-x_3).\end{aligned}\)
Der zweite Summand verschwindet nun allerdings für \(x=\frac{x_1+x_2}{2}\), so dass \(f'(x)=m\) an dieser Stelle erfüllt ist. Damit ist \(t(x)\) tatsächlich Tangente am Graphen von \(f\) an der Stelle des arithmetischen Mittels der beiden anderen Nullstellen.
Im Fall \(m=0\) ist \(x=x_1\) oder \(x=x_2\). In diesem Fall liegt dort eine doppelte oder sogar dreifache Nullstelle vor. Die Tangente ist dann die Nullfunktion und die Aussage trivial.
