Aussage mit Allquantor Existenzquantor verneinen und umformen

Question

Aufgabe:

Aussagen mit Quantoren ∀ und ∃ verneinen und umformen

Problem/Ansatz:

Die eigentliche Aufgabe war, zu sagen, ob die angegebene Aussage A ∃m∈[10] ∀n∈[11] (m≤n) wahr ist, oder nicht. (Ich habe auch die Lösung: Die Aussage ist wahr. Mein Weg scheint fehlerhaft zu sein.)
Mein Ansatz war:
1) Aussage A verneinen
2) wenn ¬A wahr ist, dann muss A falsch sein
(und wenn wenn ¬A falsch ist, gibt es keine Gegenbeispiele, d.h. A muss wahr sein)

Dann habe ich aber den Überblick zwischen Verneinen und Umformen verloren.

Als ¬A hatte ich zuerst ∀m∈[10] ∃n∈[11] (m≥n) raus (Wenn ich das als Lösung habe, sind beide ¬A und A wahr und das kann ja nicht sein:
m∈[10] ≥ n=1).

Dann dachte ich aber die Bedingung (m≤n) sollte vielleicht doch nicht verneint werden (also
∀m∈[10] ∃n∈[11] (m≤n))? Diese Aussage scheint aber auch wahr zu sein (m∈[10] ≤ 11)

Frage: Ist was ich gemacht habe Umformen oder Verneinen? Wenn Umformen, wie geht dann verneinen? Also wie verneint bzw. formt man eine Aussage mit ∀ und mit ∃ äquivalent um?

PS. Ist es eine Tautologie? Wird (m≤n) negiert zu m>n?

Danke

Comments

Was bedeutet [10] und [11]?

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[10] ist die Menge {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} also [n] = {1,...,n} und n∈ℕ

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Wo hast du diese Notation her? Ich habe sie so noch nie gesehen? Oder wurde es so definiert? Eckige Klammern stehen gewöhnlich bei Intervallen.

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Wo hast du diese Notation her?

Das hat der Dozent oder ein Lehrbuch wohl so definiert. Wichtig ist doch das der Fragesteller die Definition kennt.

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Aber auch der, der um Hilfe gebeten wird. Kanntest du dieses Notation? Sehr ungewöhnlich, oder?

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Ich kannte die Definition auch nicht.

Aber wenn der Fragesteller die gibt, dann ist das für mich ok und ich kann es als gegeben akzeptieren.

Dafür ist es doch unerheblich wer das mal irgendwann so definiert hat. Verabredungen sollten vom Dozenten kommuniziert werden, im Aufgabenblatt oder gar im Skript stehen.

Answer 1

In Worten bedeutet A:

Es gibt mindestens ein m aus ... für das gilt: Alle n sind aus ...

Bis auf 11 sind die Mengen identisch.

Verneinung: Es gibt kein m aus ... für das gilt: Alle n sind aus ...

Was in [10] enthalten ist, ist automatisch in [11] enthalten. Das trifft zu. Warum soll nicht beides zutreffen können? m <= n Nur wenn m>n wäre, wäre die Aussage falsch.

Comments

Falsch, "alle n sind aus" steht nirgendwo.

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Falsch, "alle n sind aus" steht nirgendwo.

Das steht aber so da:

∀n∈[11]

Sonst ist es keine Aussage, oder?

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Nein, tut es nicht. Informier dich (z.B. internet, ohne Foren) wie man das liest, bevor du antwortest und möglicherweise Verwirrung stiftest.

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∀n∈[11] ist keine Formel.

Formal: Wenn φ eine Formel ist, dann ist

        ∀ x φ

eine Formel.

Oft verlangt man, das die x aus einer bestimmten Menge M stammen. Dann würde man

        ∀ x (x ∈ M → φ)

schreiben. "Für alle x gilt: wenn x ein Element der Menge M ist, dann gilt φ". Dafür hat sich die abkürzende Schreibweise

        ∀ x ∈ M φ

eingebürgert. "Jedes Element der Menge M erfüllt φ".

Ebenso ist ∃ x ∈ M keine Formel. Stattdessen ist

        ∃ x ∈ M φ

eine abkürzende Schreibweise für

        ∃ x (x ∈ M ∧ φ).

Answer 2

Negieren ist sinnvoll, wenn es dann einfacher wird. Hier nicht.

Die Aussage ist wahr, weil sie offensichtlich mit m=1 erfüllt ist.

Deine erste Version ist fast richtig negiert (Bedingung negieren, wird zu m>n), ist aber ne falsche Aussage.

Answer 3

Du hast die Aussage

$$\exist m \in [10]: \quad \forall n \in [11]: \quad m \leq n$$

Diese Aussage ist richtig, weil sie für m=1 erfüllt wird.

Dazu die Verneinung, diese kann man schrittweise durchführen:

$$\neg \left[\exist m \in [10]: \quad \forall n \in [11]: \quad m \leq n\right]$$

$$\iff \forall m \in [10]: \quad \neg \left[ \forall n \in [11]: \quad m \leq n\right]$$

$$\iff \forall m \in [10]: \quad  \exists n \in [11]: \quad \neg \left[m \leq n\right]$$

$$\iff \forall m \in [10]: \quad \exists n \in [11]: \quad m>n$$

Diese Aussage ist in der Tat falsch, weil sie für m=1 nicht erfüllt ist.