Prädikatenlogik Umformungsregel

Question

Hallo liebe Leute,

ich komme eigentlich ganz gut mit aber ich verstehe die Umformungsregeln in der Prädikatenlogik noch nicht zu 100%. Ich weiß, dass folgende Aussagen Äquivalent sind:

¬∃xP(x) bzw. ∀x¬P(x)

Meine Überlegung dahinter ist, dass man bei der Umformung die Quantoren in ihr Gegenteil umformt und vor alles ein "nicht" setzt.

Jetzt haben wir aber z.B. eine Aufgabe:

¬∀s∃t¬A(s,t)

was laut Lösung umgeformt wird zu

∃s∀tA(s,t)

Hier ist mir der Lösungsweg nicht ganz klar. Laut meiner oben genannten Überlegung sollte es nämlich werden: ∃s¬∀tA(s,t) weil ich ja denke, man muss vor alles ein "nicht" stellen und die Quantoren umtauschen. Ich hoffe, mir kann das jemand eventuell nochmal anschaulich erläutern.

Ich bin euch für alle Hilfsversuche sehr dankbar!

Answer 1

Hier ist mir der Lösungsweg nicht ganz klar. Laut meiner oben genannten Überlegung sollte es

nämlich werden: ∃s¬∀tA(s,t)

Da hast du fast  recht, aber wenn du die Negation erst mal nur

auf einen Quantor beziehst, hat du :

∃s¬∃t ¬A(s,t)

und dann

¬∃t  ¬ A(s,t)

umgeformt wird zu

∀t ¬¬A(s,t)    =    ∀t A(s,t) 

also gibt das Ganze :

∃s∀tA(s,t)


∃s∀tA(s,t)

Comments

Da hast du fast  recht, aber wenn du die Negation erst mal nur

auf einen Quantor beziehst, hat du :

∃s¬∃t ¬A(s,t)

Aber hier wurden ja jetzt 2 Quantoren verändert. Die Regel nach welcher das geschieht leuchtet mir irgendwie nicht ganz ein. Wieso wird aus dem 2. Quantor ∃ plötzlich ¬∃?

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Aufgabe:   ¬∀s∃t¬A(s,t) 

¬ auf den ersten Quator anwenden. Der ändert sich und das ¬

steht dann vor dem zweiten:

∃s¬∃t ¬A(s,t) 

jetzt das  ¬ auf den zweiten anwenden,

dann ändert der sich und das ¬ steht vor  ¬A(s,t) 


also   ∃s∀t ¬¬A(s,t)

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Vielen dank, jetzt hab ichs kapiert :)