Übung zu Elemente und Teilmengen

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche sind falsch?
(1) {0} ∈ {{0}, 0}

(2) {x} ⊆ {{x}}

(3) {0} ⊆ {{0}, {1}}

(4) {z} ∈ {z}

(5) ∅ ⊆ {0}

(6) {∅, 0} = {0}

(7) ∅ ∈ ∅

(8) ∅ ∈ {∅}

Problem/Ansatz:

Bei (1) bin ich mir ziemlich sicher dass es richtig ist, wegen dem ersten Element in der Menge auf der rechten Seite.

Bei (2) denke ich mir dass es falsch sein könnte, weil eine {} zu viel ist. {x} ⊆ {x} oder {{x}} ⊆ {{x}} würde meiner Meinung nach stimmen.

Bei (3) sehe ich es genauso.

Bei (4) bin ich mir ziemlich sicher dass es entweder z ∈ {z} oder {z} ⊆ {z} sein müsste, damit es stimmt.

Zu (5) und (8) würde ich sagen, dass es richtig ist weil die leere Menge ein Teil einer jeder Menge ist

Dass (6) falsch ist, weil auf der rechten Seite die leere Menge fehlt, damit es beides das gleiche ist, bin ich mir ziemlich sicher.

Und bei (7) hatte ich den Ansatz dass es falsch sein könnte, da die leere Menge keine Elemente enthält.

Problemzonen sind hauptsächlich Nr 2, 3, 5, 7, 8

Über jeden Ratschlag wäre ich euch sehr dankbar, da ich erst neu in diesem Thema eingestiegen bin.

Answer 1

Bei (1) bin ich mir ziemlich sicher, dass es richtig ist, wegen dem ersten Element in der Menge auf der rechten Seite.

Bei (2) denke ich mir, dass es falsch sein könnte, weil eine {} zu viel ist. {x} ⊆ {x} oder {{x}} ⊆ {{x}} würde meiner Meinung nach stimmen.

Bei (3) sehe ich es genauso.

Bis hier ist alles richtig. Den Rest schaue ich mir später mal an. :-)

Comments

Bei (4) bin ich mir ziemlich sicher, dass es entweder z ∈ {z} oder {z} ⊆ {z} sein müsste, damit es stimmt.

Das stimmt auch. Natürlich gibt es noch weitere Möglichkeiten, die Aussage so zu verändern, dass sie stimmt, aber deine Überlegung trifft den Kern der Sache schon ganz gut.

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Zu (5) (...) würde ich sagen, dass es richtig ist, weil die leere Menge ein Teil einer jeder Menge ist

Sehr gut, eine etwas genauere Formulierung wäre:

"...ist richtig, weil die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist."

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Dass (6) falsch ist, weil auf der rechten Seite die leere Menge fehlt, damit es beides das gleiche ist, bin ich mir ziemlich sicher.

Ja, das ist auch gut. Ich würde so argumentieren: Weil ∅≠0 ist, ist die linke Menge größer als die rechte, daher können sie nicht gleich sein.

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Und bei (7) hatte ich den Ansatz, dass es falsch sein könnte, da die leere Menge keine Elemente enthält.

Das ist richtig. Sehr gute Begründung!

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Zu (...) (8) würde ich sagen, dass es richtig ist weil die leere Menge ein Teil einer jeder Menge ist

Die Aussage ist zwar richtig, deine Begründung ist aber falsch.

Answer 2

Hallo.

1) ist richtig.

Hier ist {0} ein Element der Menge.

2) ist falsch.

Denn {x} ist hier ein Element der Menge und keine Teilmenge. Die einzigen Teilmengen wäre hier {{x}} (also die Menge selbst) und die leere Menge ∅.

3) ist falsch.

Analog zu 2).

4) ist falsch.

Richtig wäre {z} ∈ {{z}}. Wir schreiben ja auch z.B. nicht 1 ∈ 1, sondern 1 ∈ {1}.

5) ist richtig.

Die leere Menge ∅ ist von jeder Menge eine Teilmenge. Insbesondere ist hier {0} ja die Menge, die 0 als Element hat.

6) ist falsch.

Die leere Menge ∅ ist hier ein Element der rechten, aber nicht von der linken Menge, wodurch die Mengen nicht gleich sein können.

7) ist falsch.

Hier wäre ∅ ∈ {∅} oder ∅ ⊂ ∅ richtig.

8) ist richtig, wie schon erwähnt.

Comments

Duplikat (nudger “"wie schon erwähnt." - Ja, eben. Alles schon erwähnt.”)

Ich finde diese abschließende Zusammenfassung gut und sinnvoll. Sie bringt es auf den Punkt. Gut gemacht, Txman! Lass dich nicht demotivieren!

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Danke dir :)