Problem bei Parameterdarstellung von Kurven in die Relation eines rechtwinkligen Koordinatensystems

Question

Hallo Zusammen,

ich hoffe mir kann jemand bei einer Aufgabe helfen, an der ich mir jetzt schon seit einiger Zeit den Kopf zerbreche. Ich versuche aus dem Übungsbuch "Kusch Mathematik Differentialrechnung Aufgabensammlung mit Lösungen" eine Aufgabe zu bzw. den Rechenweg zu verstehen, da die Lösung bereits aufgeführt ist. Jedoch kann ich den Rechenweg nur teilweise nachvollziehen und hoffe, dass mir hier jemand auf die Sprünge helfen kann. Der Rechenweg ist mir dabei besonders wichtig. Teilweise konnte ich mir bereits selber helfen, aber ab diesem Punkt bin ich aufgeschmissen und verstehe den Weg bis zur Lösung nicht mehr.

Quelle:
Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 9, 1995, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 68, Aufgabe 5

Es geht dabei um die "Parameterdarstellung von Kurven" genauer gesagt um die Relation in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

f₁ (t) = $\frac{t^2}{t-1}$     f₂ (t) = $\frac{t}{t^2-1}$

In meinem ersten Schritt stelle ich die Funktion f₁ (t) nach t um.

x = $\frac{t^2}{t-1}$

Den Bruch auflösen durch | * (t-1)

x * (t - 1) =$t^{2}$

Nun die Klammer aus multiplizieren

xt - x =$t^{2}$

Jetzt xt auf durch | -xt auf die andere Seite bringen

-x = $t^{2}$ - xt

Jetzt bilde ich die quadratische Ergänzung

$t^{2}$ - xt + ($\frac{-x}{2}$)^2 ^{= -}x + ($\frac{-x}{2}$)^2

Danach quadriere ich zuerst den Bruch auf rechten Seite

$t^{2}$ - xt + ($\frac{-x}{2}$)^2 = -x + $\frac{-x^2}{4}$

Die linke Seite kann nun zur binomischen Formel zusammengefasst werden

( t + $\frac{-x}{2}$ )^2 = -x + $\frac{-x^2}{4}$

Jetzt kann auf beiden Seiten die Quadratwurzel gezogen werden

t + $\frac{-x}{2}$ = ± $\sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}}$

Zum Schluss hole ich noch $\frac{-x}{2}$ auf die rechte Seite, damit t alle steht und bekomme zwei mögliche Lösungen

t₁ = $\frac{x}{2}$ + $\sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}}$

t₂ = $\frac{x}{2}$ - $\sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}}$

Jetzt kann ich t in f₂ (t) eintragen.

f2 (t) = $\frac{t}{t^2-1}$

f2 (t) = $\frac{\frac{x}{2} + \sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}} }{(\sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}})^{2}-1}$

Das ist nun meine Ausgangssituation.

Laut Lösung im Buch soll am Ende folge Lösung heraus kommen:

2 * $\frac{x ± \sqrt{x^{2} -4x}}{(x ± \sqrt{x^{2} -4x})^{2} -4}$

D(R) = ℝ \ [0; 4) ∪ {$\frac{1}{2}$}]

Ich habe keine Ahnung, wie ich von meiner Ausgangssituation auf dieses Ergebnis kommen soll. Vielleicht kann mir hier jemand helfen.

Vielen lieben Dank im Voraus und liebe Grüße

Comments

Da sind zwei Funktionen gegeben, ok. Und was ist die Aufgabenstellung? Im Original-Wortlaut und vollständig bitte.

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Hallo

dien "Ausgangssituation" setz du setzt in y ein (dabei 1/2 aus t = ausklammern und schon steht das Ergebnis da.

Gruß lul

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Hallo nudger, der genaue Wortlaut lautet: "1.1.11 Parameterdarstellung von Kurven - Ermitteln Sie jeweils den Definitionsbereich der nachstehenden in Parameterdarstellung gegebenen ebenen Punktmengen und zeichnen Sie diese Kurven."

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Aber dann folgt ja keine Punktmenge, sondern zwei Funktionen? Da fehlt noch etwas. Soll die Kurve $(f_1(t),f_2(t))$ sein?

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Hallo nudger,

ich gehe davon aus. Im Buch wird es nicht weiter beschrieben. f1(t) wird nach t umgestellt und in f2(t) eingetragen. Anschließend wird der Term vereinfacht (wobei leider der Rechenweg nicht mit angegeben wird) und das Ergebnis ist dann der Term.

Ich wünscht, ich könnte dir mehr sagen. Daher habe ich auch das Buch als Quelle genannt, in der Hoffnung, das jemand mein Problem besser nachvollziehen kann.

Viele Grüße

Thorsten

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Seite 68 rechte Spalte:

$f:t\mapsto \langle \frac{t²}{t-1}\big|\frac{t}{t²-1}\rangle$

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Das meinte ich. Und hatte es vermutet (aufgrund der akzeptierten Antwort).

Answer 1

Erweitere deine Ausgangssituation ($f_2(t)$) mit 4 und wende Potenz-/Wurzelgesetze korrekt an.

Comments

Hallo Apfelmännchen, vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich war so ein Idiot und habe den Wald vor lautet Bäumen nicht gesehen. Vielen vielen lieben Dank, der Tag ist gerettet. :-)

Liebe Grüße

Thorsten