Hallo Zusammen,
ich hoffe mir kann jemand bei einer Aufgabe helfen, an der ich mir jetzt schon seit einiger Zeit den Kopf zerbreche. Ich versuche aus dem Übungsbuch "Kusch Mathematik Differentialrechnung Aufgabensammlung mit Lösungen" eine Aufgabe zu bzw. den Rechenweg zu verstehen, da die Lösung bereits aufgeführt ist. Jedoch kann ich den Rechenweg nur teilweise nachvollziehen und hoffe, dass mir hier jemand auf die Sprünge helfen kann. Der Rechenweg ist mir dabei besonders wichtig. Teilweise konnte ich mir bereits selber helfen, aber ab diesem Punkt bin ich aufgeschmissen und verstehe den Weg bis zur Lösung nicht mehr.
Quelle:
Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 9, 1995, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 68, Aufgabe 5
Es geht dabei um die "Parameterdarstellung von Kurven" genauer gesagt um die Relation in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
f1 (t) = \( \frac{t^2}{t-1} \) f2 (t) = \( \frac{t}{t^2-1} \)
In meinem ersten Schritt stelle ich die Funktion f1 (t) nach t um.
x = \( \frac{t^2}{t-1} \)
Den Bruch auflösen durch | * (t-1)
x * (t - 1) =\( t^{2} \)
Nun die Klammer aus multiplizieren
xt - x =\( t^{2} \)
Jetzt xt auf durch | -xt auf die andere Seite bringen
-x = \( t^{2} \) - xt
Jetzt bilde ich die quadratische Ergänzung
\( t^{2} \) - xt + (\( \frac{-x}{2} \))^2 = -x + (\( \frac{-x}{2} \))^2
Danach quadriere ich zuerst den Bruch auf rechten Seite
\( t^{2} \) - xt + (\( \frac{-x}{2} \))^2 = -x + \( \frac{-x^2}{4} \)
Die linke Seite kann nun zur binomischen Formel zusammengefasst werden
( t + \( \frac{-x}{2} \) )^2 = -x + \( \frac{-x^2}{4} \)
Jetzt kann auf beiden Seiten die Quadratwurzel gezogen werden
t + \( \frac{-x}{2} \) = ± \( \sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}} \)
Zum Schluss hole ich noch \( \frac{-x}{2} \) auf die rechte Seite, damit t alle steht und bekomme zwei mögliche Lösungen
t1 = \( \frac{x}{2} \) + \( \sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}} \)
t2 = \( \frac{x}{2} \) - \( \sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}} \)
Jetzt kann ich t in f2 (t) eintragen.
f2 (t) = \( \frac{t}{t^2-1} \)
f2 (t) = \( \frac{\frac{x}{2} + \sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}} }{(\sqrt{-x + \frac{x^{2}}{4}})^{2}-1} \)
Das ist nun meine Ausgangssituation.
Laut Lösung im Buch soll am Ende folge Lösung heraus kommen:
2 * \( \frac{x ± \sqrt{x^{2} -4x}}{(x ± \sqrt{x^{2} -4x})^{2} -4} \)
D(R) = ℝ \ [0; 4) ∪ {\( \frac{1}{2} \)}]
Ich habe keine Ahnung, wie ich von meiner Ausgangssituation auf dieses Ergebnis kommen soll. Vielleicht kann mir hier jemand helfen.
Vielen lieben Dank im Voraus und liebe Grüße
