Betragsfunktionen mit Ungleichungen: 3a) 5|x-4| > 10

Question

Aufgabe 1:

Schreiben Sie die folgenden Funktionen:

a) \( f(x)=x+|x| \)

b) \( f(x)=|-2 x+6|-6 \)

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die Lösungen der folgengenden Gleichungen:

a) \( |4 x+5|=6 x-1 \)

b) \( \frac{1}{2} \cdot|10 x+5|=3 \cdot(x+1) \)

Aufgabe 3:

Ermitteln Sie die Lösungsmengen:

a) \( 5 \cdot|x-4|>10 \)

b) \( |2 x+6|<x+6 \)

Answer 1

2 a)

| 4·x + 5 | = 6·x - 1
x = 3

2 b)

1/2· | 10·x + 5 | = 3·(x + 1)
x = - 11/16 ∨ x = 1/4

3 a)

5·|x - 4| > 10
x < 2 ∨ x > 6

3 b)

| 2x + 6 | < x + 6
-4 < x < 0

Wobei hast du denn genau Schwierigkeiten ?

Comments

So, jetzt bin ich da.

Wir hatten das kurz heute wiederholt. Da ich von der Mittelschule komme, habe ich noch nichts von Betragsfunktionen gehört. Die Realschüler schon. Die Lehrerin meinte, ich müsste mir die Grundlagen selber erarbeiten. Das habe ich heute gemacht und wollte jetzt eben die Hausaufgaben hier rein stellen.

Bei der 2a) hast du ja nur eine Lösung, oder?

Es gilt doch auch: -(4x+5)=6x-1

-4x-5=6x-1

-4=10x

x=-4/10

Oder sehe ich das falsch und bin doch nicht ganz mit dem Thema vertraut?

LG

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Setz doch mal -4/10 = -0.4 in die Ausgangsgleichung ein und überprüfe die Lösung.

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Ja, aber warum muss ich jetzt hier nur den Betrag für 4x+5 berechnen und nicht für -(4x+5)?

Das ist doch der Absolutbetrag oder nicht?

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Bei Betragsungleichungen sind die entstehenden Lösungen zu überprüfen. D.h. die Lösungen am besten nochmals in die Ausgangsgleichung einsetzen.

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Nimm mal die simple Gleichung

| x | = -1

Würdest du jetzt hier wie folgt vorgehen ?

Für x >= 0

x = -1

Für x <= 0

-x = -1

x = 1

Richtig ist hier aber keine Gleichung da der Betrag nie negativ werden kann.

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ok, das konnte ich bis jetzt in keinem Buch lesen. Gut zu wissen!

Kannst du mal die Aufgabe 1 anschauen?

Dort sollen die Betragsfunktionen als abschnittsweise definierte Funktionen dargestellt werden.

Ich habe bei a) f(x)=2x für x>=0 und f(x)=0 für x<0

Stimmt das?

Ich habe bei b) f(x)=-2x für x<=3 und f(x)=2x-12 für x>3

Stimmt das?

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a)

f(x) = x + | x |

f(x) = x + x = 2x für x >= 0

f(x) = x - x = 0 für x < 0

b)

f(x) = | - 2·x + 6 | - 6

f(x) = ( - 2·x + 6 ) - 6 = - 2·x für - 2·x + 6 >= 0 bzw. x <= 3

f(x) = -(- 2·x + 6) - 6 = 2·x - 12 für x > 3

Sieht also richtig aus.

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Könntest du mal die Zeichnungen hier rein stellen für a) und b)?

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Ich zeichne sie mal ins Gleiche Koordinatensystem

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Danke dir! Ich rechne noch ein paar Aufgaben und stelle dann mal die Lösungen zum Korrigieren rein!

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Du kannst auch Wolframalpha benutzen um deine Lösungen zu korrigieren. Nur so als Tipp.

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Nochmal kurz was anderes: Als Beispiel die Aufgabe 2a)!!

Dort haben wir ja nach dem = 6x-1

Muss ich da eine Fallunterscheidung machen? Schließlich kann der Betrag ja nagativ werden, was nicht sein darf oder ist das nicht notwendig oder gar falsch?

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Du kannst natürlich sagen

6·x - 1 ≥ 0
x ≥ 1/6

Das erübrigt sich aber wenn du später die Lösungen einsetzt. Bei Betragsungleichungen ist das dann etwas mühsamer.

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Wie gibt man die gesamte Lösungsmenge bei Ungleichungen an?

In meinem Buch gibt es zwei Fälle, wie es auch immer ist. 1. Fall ...>=0 und 2. Fall ...<0

Und bei jedem Fall wurde immer die Lösungsmenge des Betrages und schließlich der gesamten Ungleichung angegeben. Dann wurden die Lösungsmenge der 2 Fälle vereinigt. Hast du das oben auch gemacht oder muss man das hier nicht (Aufgabe 3)?

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Wäre schon, wenn du da nochmal drüber schauen könntest :)

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Ich habe das oben abgekürzt weil ich nicht wusste was du nicht kannst. Vollständig sähe das so aus

5·|x - 4| > 10

Fall 1: x - 4 ≥ 0 bzw. x ≥ 4

5·(x - 4) > 10
x - 4 > 2
x > 6

Nun bildest du die Schnittmenge von (x ≥ 4) ∩ (x > 6) = x > 6

Fall 2: x < 4

5·(-(x - 4)) > 10
-(x - 4) > 2
x - 4 < -2
x < 2

Nun bildest du die Schnittmenge von (x < 4) ∩ (x < 2) = x < 2

Nun bildest du noch die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen

x < 2 ∨ x > 6

Dann sind wir fertig.

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Kannst du mir vll. noch kurz erklären, warum man diese Betragsfunktionen braucht? Ich habe das Ganze jetzt soweit verstanden, samt Ungleichungen, usw... aber meine Lehrerin meinte, das wäre sehr wichtig für die 12. Klasse. Inwiefern brauche ich diese Kenntnisse da?

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Gute Frage :) Also ich habe da bisher noch nie eine vernünftige Anwendungsaufgabe gehabt wo ich das brauchte.
Allerdings nutze ich selber Betragsfunktionen recht häufig wenn das um Flächenbrechnung in der Integralrechnung geht.

Normal darf man dort nicht über Nullstellen hinweg integrieren weil man sonst Flächen über und unter der x-Achse gegeneinander verrechnet. Das Problem hat man bei Betragsfunktionen nicht. Also macht man aus einer Funktion eine Betragsfunktion und darf dann beliebig integrieren.

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Naja, ich werde das noch früh genug erfahren :)

Bin jetzt erstmal froh, das verstanden zu haben.

Answer 2

Die Betragsfunktion ist wie folgt definiert:

$$\left| x \right| =\left\{ \begin{matrix} x\quad falls\quad x\quad \ge \quad 0 \\ -x\quad falls\quad x\quad <\quad 0  \end{matrix} \right\}$$

Daher muss man beim formal korrekten Lösen von Betrags(un-)gleichungen immer eine Fallunterscheidung machen.

So zum Beispiel bei Aufgabe 2a):

| 4 x + 5 | = 6 x - 1

Fall 1:

4 x + 5 ≥ 0 <=> 4 x ≥ - 5 <=> x ≥ - 5 / 4 

Dann:

| 4 x + 5 | = 6 x - 1

<=> 4 x + 5 = 6 x - 1

<=> 2 x = 6

<=> x = 3

Die Lösungsmenge  für Fall 1 ist also:

L₁ = { x | x ≥ - 5 / 4 und x = 3 } = { 3 }

 

Fall 2:

4 x + 5 < 0 <=> 4 x < - 5 <=> x < - 5 / 4 

Dann:

| 4 x + 5 | = 6 x - 1

<=> - ( 4 x + 5 ) = 6 x - 1

<=> - 4 x - 5 = 6 x - 1

<=>10 x = - 4

<=> x = - 4 / 10

Die Lösungsmenge  für Fall 2 ist also:

L₂ = { x | x < - 5 / 4 und x = - 4 / 10 } = { }

Die Lösungsmenge ist leer, da - 4 / 10 größer als - 5 / 4 ist.

 

Die Lösungsmenge L für die gesamte Gleichung | 4 x + 5 | = 6 x - 1 ist nun die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen der unterschiedenen Fälle, also:

L = L₁ ∪ L₂ = { 3 } ∪ { } = { 3 }

 

Bei Aufgabe 3a) rechnet man so:

5 * | x - 4 | > 10

Fall 1:

x - 4 ≥ 0 <=> x ≥ 4

Dann:

5 * | x - 4 | > 10

<=> 5 * ( x - 4 ) > 10

<=> 5 x - 20 > 10

<=> 5 x > 30

<=> x > 6

Also:

L₁ = { x | x ≥ 4  und x > 6 } = { x | x > 6 }

 

Fall 2:

x - 4 < 0 <=> x < 4

Dann:

5 * | x - 4 | > 10

<=> 5 * ( - ( x - 4 ) ) > 10

<=> - 5 x + 20 > 10

<=> - 5 x > - 10

<=> 10 > 5 x

<=> x < 2

Also:

L₂ = { x | x < 4  und x < 6 } = { x | x < 2 }

Insgesamt:

L = L₁ ∪ L₂ = { x | x > 6 } ∪ { x | x < 2 } = { x | x > 6 oder  x < 2 }

Answer 3

2b)

\( \frac{1}{2} \cdot|10 x+5|=3 \cdot(x+1) \)

\( |10 x+5|=6x+6 \)

\( \sqrt{(10 x+5)^2}=6x+6|^{2} \)

\( (10 x+5)^2=(6x+6)^{2} \)

\( (10 x+5)^2-(6x+6)^{2}=0 \)   3.Binom:

\( [(10 x+5)+(6x+6)]\cdot [(10 x+5)-(6x+6)]=0 \)

\( [16x+11]\cdot [4x-1]=0 \) Satz vom Nullprodukt:

1.)

\( 16x+11=0 \)

\( x_1=-\frac{11}{16} \)

2.)

\(  4x-1=0 \)

\(  x_2=\frac{1}{4} \)

Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

1.)

\( \frac{1}{2} \cdot|10\cdot (-\frac{11}{16})+5|=3 \cdot(-\frac{11}{16}+1) \)

\( \frac{1}{2} \cdot|-\frac{15}{8}|=3 \cdot(\frac{5}{16}) \)✓

2.)

\( \frac{1}{2} \cdot|10\cdot \frac{1}{4}+5|=3 \cdot(\frac{1}{4}+1) \)✓