Aufteilung von Gebrochenrationalen Betragsfunktionen

Question

kann mir jemand präzise erklären, wie genau ich Gebrochenrationale Betragsfunktionen mit mehreren Beträgen

aufteile ? als Beispiel : (3x + |x^2 -4|)/|x-2|).

(Bitte eine sehr genaue ERKLÄRUNG)

Answer 1

( 3x + |x^2 -4| ) /|x-2).

Nullpunkte der Betragsfunktionen
x = 2
x = -2

1.Fall
x >= 2
|x^2 -4| ist positiv
| x-2 | ist positiv
dafür gilt
( 3x +  ( x^2 -4)) / (x-2)

2.Fall
-2 < x < 2
|x^2 -4| ist negativ
| x-2 | ist negativ
dafür gilt
( 3x +  ( x^2 -4) *(-1)) / ((x-2) * (-1)

3.Fall
x < -2
|x^2 -4| ist positiv
| x-2 | ist negativ
dafür gilt
( 3x +  ( x^2 -4)) / ((x-2) * (-1))

Kommt zwischen 3x + (...) vielleicht ein " mal " ?
Dann ließe sich noch weiter kürzen.

Comments

wieso nutzt man für den 2. Fall (-2 < x < 2  ) bei beiden die negative variante und bei dem dritten Fall einmal positiv und einmal negativ ? Und wieso wird der 4. Fall nicht benötigt ?( also |x^2 - 4| negativ und |x-2| positiv )

(Nein es kommt kein "mal" mehr vor, bei der Aufgabe ging es ursprünglich darum die Asymptoten zu bestimmen, aber dieser Schritt hat mich aufgehalten)

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Allgemein
Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktionen feststellen
Hier x = 2 und x = -2

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.


Zahlenstrahl

      3           2             1
<- -------|------------|---------->
            -2            2

Beispiel  für Bereich 3
3.Fall
x < -2
|x^2 -4|
x^2 ist (-2)^2  > 4
(>4)  - 4 = > 0
Der Term in den Betragsstrichen ist positiv
Dafür gilt
|x^2 -4|  = x^2 - 4

Für den anderen Betrag gilt
| x-2 | wird nach Einsetzung von x <-2
Der Term wird negativ
dafür gilt
| x-2 | = ( x -2 ) * (-1)

Frage nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

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Ok ich habe nun das gröbste verstanden und muss mich vielmals bei ihnen für ihre Hilfe und für die gute Erklärung bedanken. Ich habe gerade nochmals über den mittleren Teil nachgedacht, aber es haben sich alle Fragen geklärt. Schönen Abend noch.

Answer 2

Nullstellen der Beträge:

x1=2

x2=-2

Daraus ergeben sich die Intervalle:

x<-2

-2≤x<2

x≥2

Comments

Für diese Aufgabe wären das dann ja :

|x2-4| = x2-4 für x >= +-2

|x2-4| = -x2+4 für x <= +-2
|x-2| = x-2 für x >= 2

|x-2| = -x+2 für x <= 2

aber wie weiss ich in dem Fall, welche von den 4 Möglichkeiten ich benutzen muss ?

(also ((3x+x2-4)/(x-2)), ((3x+x2-4)/(-x+2)) , ((3x-x2+4)/(x-2)), ((3x-x2+4)/(-x+2))