Funktion Intervall bestimmen für injektiv, surjektiv, bijektiv

Question

Aufgabe:

Für die Funktionsgleichung f(x)=x⁴ Intervalle I und J finden, sodass die Funktion f: I --> J die folgenden Eigenschaften hat:

a) injektiv, aber nicht bijektiv, b) subjektiv, aber nicht bijektiv; c) bijektiv

Problem/Ansatz:

Ich habe für a) f: ℝ (0,+) --> ℝ, f(x)=x⁴ bzw. das Intervall [0,∞)

für b)  f: ℝ --> ℝ (0,+), f(x)=x4

Habt ihr andere Vorschläge bzw. stimmt das? Für c) habe ich keine Antwort

Comments

Entfernt\(\).

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Bei der Notation würde ich darauf achten, dass du \(I\) und \(J\) explizit angibst.

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gelöschter kommentar

Answer 1

Hallo.

a) ist richtig. Du hast hier I := [0,inf) und J = |R.

Die Funktion f : [0,inf) —> |R, f(x) = x^4 ist injektiv, denn für alle x,y ≥ 0 gilt:
f(x) = f(y) <=> x^4 = y^4  <=> |x| = |y| => x = y.

Sie ist nicht bijektiv, da sie nicht surjektiv ist, da gilt f(I) = f([0,inf)) = [0,inf) ≠ |R = J.

b). Fast!

Mache aus dem |R als Definitionsbereich nur ein Intervall, z.B. I := [-1,inf) wie die Aufgabe fordert und wähle dazu J := [0,inf).

Dann hast du f : [-1, inf) —> [0,inf) und das ist surjektiv wegen f(I) = f([-1,inf)) = [0,inf) = J aber nicht injektiv (also auch nicht bijektiv), denn es gilt f(-1) = f(1) = 1 trotz -1 ≠ 1.

c). Wähle hier einfach I = J = [0,1], also die Funktion f : [0,1] —> [0,1], so ist f bijektiv mit f([0,1]) = [0^4, 1^4] = [0,1].

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Danke für die Hilfe!!