Berechne, wie sich der Oberflächeninhalt des Quaders bei diesem Vorgang verändert

Question

Aufgabe:

Bei einem Quader mit den Kantenlängen a, b, und e werden alle Kanten auf ein Viertel der
ursprünglichen Länge gekürzt.

Berechne, wie sich der Oberflächeninhalt des Quaders bei diesem Vorgang verändert.

Problem/Ansatz:

Bin mir nicht sicher ob das Ergebnis 1:8 •( den alten Oberflächeninhalt) ist oder ob es 1:16•( Den alten oberflächeninhalt ist

Comments

Die gute Nachricht: Eine deiner beiden Varianten stimmt.

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Kleiner Hinweis zum Verständnis:

Schau dir mal eine der Seitenflächen genauer an. Zum Beispiel eine Seitenfläche mit den Kantenlängen \(a,\,b\):

Alte Seitenfläche: \(ab\)

Neue Seitenfläche: \(\frac 14 a \cdot \frac 14 b = \frac 1{16}ab\)

Und das passiert jetzt mit allen Seitenflächen.

Alles klar jetzt?

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Du solltest der geneigten Leserschaft mitteilen, wie Du 1/8 und 1/16 ausgerechnet hast.

Denn in der Aufgabe wird verlangt "Berechne, wie..." und nicht "Rate, wie ...".

Wenn Du Deinen Rechenweg erklärst, wirst Du wahrscheinlich bereits selber merken, welche Alternative überzeugt und welche nicht.

Answer 1

Oalt = 2 * (a * b + a * e + b * e)

Oneu = 2 * ((1/4 * a) * (1/4 * b) + (1/4 * a) * (1/4 * e) + (1/4 * b) * (1/4 * e))
Oneu = 2 * (1/16 * a * b + 1/16 * a * e + 1/16 * b * e)
Oneu = 1/16 * 2 * (a * b + a * e + b * e)
Oneu = 1/16 * Oalt

Die Oberfläche schrumpft auf 1/16 der ursprünglichen Oberfläche.

Valt = a * b * e

Vneu = (1/4 * a) * (1/4 * b) * (1/4 * e)
Vneu = 1/64 * a * b * e
Vneu = 1/64 Valt

Das Volumen schrumpft auf 1/64 des ursprünglichen Volumens.

Comments

Aber wieso kann man des 1:8•2 rechnen wen man es am Ende wieder rechen müsste wen man die 1:16 mal den alten Inhalt rechnet weil dann kommt ja wieder 1:8 raus

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Oalt = 2 * (a * b + a * e + b * e)

Oneu = 1/16 * 2 * (a * b + a * e + b * e) = 1/16 * Oalt

Es ist nur der Faktor 1/16 dazu gekommen. Die 2 war vorher und ist auch nachher dort.

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Ändern sich die Längen bei einer zentrischen Streckung mit dem Faktor k, dann ändern sich Flächen mit dem Faktor k² und ändern sich Volumen mit dem Faktor k³.

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Aber kann man dann auch stat 1:16•2 auch 1:8 schrieben

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Natürlich ist 1/16 * 2 = 1/8, aber darum geht es doch nicht. Du willst doch wissen wie sich die Oberfläche ändert.

Nimm mal einen Quader mit den Kanten a = 8 cm, b = 12 cm und e = 16 cm

Berechne jetzt einmal die Oberfläche von dem ursprünglichen Quader und dann nochmals die Oberfläche wenn du jede Kante auf 1/4 der ursprünglichen Länge kürzt. Schaffst du das ? Und dann schaust du mit welchem Faktor hat sich die Oberfläche geändert.