Ungewöhnlicher Beweis des Satzes von Pythagoras

Question

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC seien die Kathetenlängen und die Hypotenusenlänge gegeben. Drücke mit Hilfe der Skizze (unten) die Fläche des Dreiecks ABC unter Einbeziehung des Inkreisradius r und ohne Verwendung des Satzes von Pythagoras auf zwei verschiedene Arten und einmal ohne Verwendung von r aus.

Ermittle auf dieser Grundlage zwei verschiedene Bestimmungsgleichungen für den Inkreisradius r und beweise mit diesen beiden Gleichungen den Satz von Pythagoras.

Comments

Die Frage hast du vor ca. 3 Jahren schon einmal gestellt.

Es gilt c=(a-r)+(b-r).

Somit gilt r=(a+b-c)/2.

Der Flächeninhalt ist einerseits 0,5*(a+b+c)r, andererseits 0,5ab.

Also gilt

0,5*(a+b+c)r= 0,5ab

und somit

r=ab/(a+b+c)

Gleichsetzen der beiden Terme

(a+b-c)/2

und

ab/(a+b+c)

liefert nach Multiplikation mit den Nennern 2 und (a+b+c)

((a+b)-c)((a+b)+c)=2ab

(a+b)²-c²=2ab

... fast fertig.

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Folgende Aufgabe habe ich von Roland gefunden

https://www.mathelounge.de/580327

Die ist allerdings etwas mehr als 3 Jahre alt. Welche hast du gefunden?

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Es ist schon die von dir zitierte Aufgabe. Die 3 Jahre waren grob geschätzt.

Tatsächlich, das ist schon 6 Jahre her. Wie die Zeit vergeht...

Ich hatte die Frage damals unter meinem (nur für gelegentliche Besuche dieses Forums gedachten)  früheren Account beantwortet.

Irgendwann habe ich diesen "Gastaccount" (unter Verzicht auf alle bereits erhaltenen Punkte) gelöscht und mich dann unter meinem jetzigen Benutzernamen angemeldet.

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Noch älter ist folgende Frage

https://www.mathelounge.de/55264

Diese war aber nicht von Roland, geht aber um den gleichen Sachverhalt.

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Wer sich für den Satz des Pythagoras und dessen Beweise interessiert, dem sei verraten, dass es kürzlich zwei Studentinnen gelungen ist, den Satz mithilfe der Trigonometrie zu beweisen.

https://www.spiegel.de/wissenschaft/satz-des-pythagoras-junge-frauen-ueberraschen-mathe-welt-mit-pythagoras-beweisen-a-a54d5c13-8f42-407a-9ae6-3cee091c6f2d