Aufgabe:
Sei Q(n) die Quersumme der natürlichen Zahl n. Ferner sei M eine beliebige nichtleere Menge von natürlichen Zahlen. Mit RM werde die folgende Relation in M bezeichnet:
(x, y) ∈ RM : ⇐⇒ x, y ∈ M ∧ Q(x) = Q(y).
Man zeige:
(a) RM ist eine Äquivalenzrelation in M.
(b) Es existiert eine unendliche Menge M, die in genau 5 Äquivalenzklassen zerfällt.
(c) Es existiert eine unendliche Menge M, bei der alle Äquivalenzklassen endlich sind.
Problem/Ansatz:
Bei a muss ich ja nachweisen, dass es reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
Da kommt mir meine Lösung viel zu simpel/kurz vor.
reflexiv, also xRx für alle x∈M: (x,x)∈RM ⇐⇒ Q(x)=Q(x)
symmetrisch, also xRy⇒yRz für alle x,y∈M: Q(x)=Q(y)⇒Q(y)=Q(x) dann (x,y)⇒(y,z)∈RM
transitiv, also xRy∧yRz für alle x,y,z∈M: Q(x)=Q(y)=Q(z) ⇒ (x,z)∈RM
Und bei den Äquivalenzklassen hab ich keine Ahnung.
Ich wäre sehr dankbar über eine ausführliche Erklärung mit Lösung, damit ich es auch wirklich fürs nächste mal verstehe.