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Aufgabe:

a) Berechnen Sie für

\(\mathbb{B} = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle|\; x^2 + y^2 \leq R^2 \right\}\)


den Wert des Integrals

\(I(R) = \iint_{\mathbb{B}} e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} \, d(x, y)\)


in Abhängigkeit von \( R \in (0, \infty) \). Bestimmen Sie weiterhin den Grenzwert

\(\lim_{R \to \infty} I(R)\)


b) Nutzen Sie das Ergebnis aus a) und bestimmen Sie das uneigentliche Integral

\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx.\)



Problem/Ansatz:

Ich habe an sich keine großen Probleme, ich will nur sicherstellen ob ich die Aufgaben richtig verstanden habe.


Hier mein Rechenweg für a):

\(I(R) = \iint_{\mathbb{B}} e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} \, d(x, y)\)


\(= \iint_{\mathbb{B}} e^{-(x^2 + y^2)} \, d(x, y)\)


Hier bin ich mir nicht sicher ob ich die Grenzen richtig gesetzt habe...

\(= \int_0^R \int_0^{2\pi} e^{-r^2} \, r \, d\theta \, dr\)


\(= \int_0^R \left( \int_0^{2\pi} r \, e^{-r^2} \, d\theta \right) dr\)


\(= \int_0^R 2\pi \, r \, e^{-r^2} \, dr\)


\(= 2\pi \int_0^R r \, e^{-r^2} \, dr\)


Substitution: \( u = r^2 \Rightarrow du = 2r \, dr \Rightarrow r \, dr = \frac{du}{2} \)

\(= 2\pi \int_0^{R^2} e^{-u} \, \frac{du}{2}\)


\(= \pi \int_0^{R^2} e^{-u} \, du\)


\(= \pi \left[ -e^{-u} \right]_0^{R^2}\)


\(= \pi \left( -e^{-R^2} + e^0 \right)\)


\(= \pi (1 - e^{-R^2})\)


Grenzwert:

\(\lim_{R \to \infty} I(R) = \lim_{R \to \infty} \pi (1 - e^{-R^2})\)


\(= \pi (1 - 0) = \pi\)


Und Aufgabe b):

\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)


\(\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy\)


\(= \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)} \, d(x, y)\)


\(= \lim_{R \to \infty} I(R) = \pi\)


\(\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \pi \)


\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\)


Habe ich das soweit alles richtig gemacht, bzw. die Aufgaben und Anwendung richtig verstanden?


Danke im voraus

Avatar vor von

1 Antwort

0 Daumen

Ich meine, das ist alles genau richtig so.

Avatar vor von 9,7 k

OK, danke. Gut zu wissen

PS: Eine Stammfunktion zu \(2\,r\,e^{-r^2}\) darf man auch gerne direkt hinschreiben, ohne formal substituieren zu müssen.

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1 Antwort
Gefragt 12 Feb 2015 von Gast

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