Aufgabe:
a) Berechnen Sie für
\(\mathbb{B} = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \; \middle|\; x^2 + y^2 \leq R^2 \right\}\)
den Wert des Integrals
\(I(R) = \iint_{\mathbb{B}} e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} \, d(x, y)\)
in Abhängigkeit von \( R \in (0, \infty) \). Bestimmen Sie weiterhin den Grenzwert
\(\lim_{R \to \infty} I(R)\)
b) Nutzen Sie das Ergebnis aus a) und bestimmen Sie das uneigentliche Integral
\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx.\)
Problem/Ansatz:
Ich habe an sich keine großen Probleme, ich will nur sicherstellen ob ich die Aufgaben richtig verstanden habe.
Hier mein Rechenweg für a):
\(I(R) = \iint_{\mathbb{B}} e^{-x^2} \cdot e^{-y^2} \, d(x, y)\)
\(= \iint_{\mathbb{B}} e^{-(x^2 + y^2)} \, d(x, y)\)
Hier bin ich mir nicht sicher ob ich die Grenzen richtig gesetzt habe...
\(= \int_0^R \int_0^{2\pi} e^{-r^2} \, r \, d\theta \, dr\)
\(= \int_0^R \left( \int_0^{2\pi} r \, e^{-r^2} \, d\theta \right) dr\)
\(= \int_0^R 2\pi \, r \, e^{-r^2} \, dr\)
\(= 2\pi \int_0^R r \, e^{-r^2} \, dr\)
Substitution: \( u = r^2 \Rightarrow du = 2r \, dr \Rightarrow r \, dr = \frac{du}{2} \)
\(= 2\pi \int_0^{R^2} e^{-u} \, \frac{du}{2}\)
\(= \pi \int_0^{R^2} e^{-u} \, du\)
\(= \pi \left[ -e^{-u} \right]_0^{R^2}\)
\(= \pi \left( -e^{-R^2} + e^0 \right)\)
\(= \pi (1 - e^{-R^2})\)
Grenzwert:
\(\lim_{R \to \infty} I(R) = \lim_{R \to \infty} \pi (1 - e^{-R^2})\)
\(= \pi (1 - 0) = \pi\)
Und Aufgabe b):
\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx\)
\(\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy\)
\(= \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)} \, d(x, y)\)
\(= \lim_{R \to \infty} I(R) = \pi\)
\(\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \pi \)
\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}\)
Habe ich das soweit alles richtig gemacht, bzw. die Aufgaben und Anwendung richtig verstanden?
Danke im voraus
