Aloha :)
$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-a(x^2+y^2)}dx\,dy=?$$
Wir folgen dem Tipp und tasten die xy-Ebene mit Hilfe von Polarkoordinaten ab:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\infty]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Beim Übergang zu Polarkoordinaten wird das Flächenelement verzerrt, das müssen wir berücksichtigen:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$
Damit haben wir alles zusammen:
$$I=\int\limits_{r=0}^\infty\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{-a(r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi)}r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^\infty\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{-ar^2}r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^\infty\frac{1}{-2a}\,e^{-ar^2}(-2ar)\,dr=2\pi\,\frac{1}{-2a}\int\limits_0^\infty e^{-ar^2}d(-ar^2)$$$$\phantom{I}=-\frac{\pi}{a}\left[e^{-ar^2}\right]_{r=0}^\infty=-\frac{\pi}{a}\left(0-1\right)=\frac{\pi}{a}$$
