Gilt hierbei strike Ungleichheit oder doch M ⊆ f(L)?

Question

Seien X und Y metrische Räume. Sei f: X--> Y stetig und E⊆X. Sei L der Abschluss von E und sei M der Abschluss von f(E)

Ich habe bereits bewiesen, dass f(L) ⊆ M. Gilt hierbei strike Ungleichheit oder doch M ⊆ f(L)? Ich finde nämlich kein Gegenbeispiel

Answer 1

Schau dir mal \(\arctan: (-\infty,\infty)\rightarrow \mathbb R\) an.

\(\arctan(\mathbb R) = \left(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2\right)\).
Nun bilde den Abschluss.

Comments

ah ok. Ginge auch: X=ℝ und Y=ℝ . f(x) =sin(x) und E= ℕ⊆X?

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Klar, aber du müsstest jetzt irgendwoher aus dem Ärmel zaubern, was der Abschluss von \(\sin(\mathbb N)\) ist bzw. konkret einen Häufungspunkt angeben, der klar bewiesen nicht in \(\sin(\mathbb N)\).

Da verhält sich mein Beispiel meines Erachtens deutlich geschmeidiger.

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Na ja also E=ℕ. E besteht also aus isolierten Punkten. Demnach L=E=ℕ. f(L) = [-1,1]_1 = {sin(n): n∈ℕ}. f(ℕ) besteht nur isolierten Punkten. M = [-1,1]_2 ist das gesamte Intervall. Der entscheidene Unterschied ist, dass M eben alle Häufungspunkte von f(L) enthält

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Was du -denke ich - meinst ist, dass \(f(\mathbb N)\) abzählbar ist.

Da \(f(\mathbb N)\) dicht in \([-1,1]\) ist, besteht es definitiv nicht aus isolierten Punkten.

Der Abschluss von \(f(\mathbb N)\) ist aber überabzählbar. Daher enthält er Punkte, die nicht in \(f(\mathbb N)\) sind.

Das ist ein gutes Argument. Benutzt aber eben die Dichtheit von \(f(\mathbb N)\) in \([-1,1]\). Wenn du das als gegeben benutzen darfst: prima.