Aufgabe mit Additionstheoremen

Question

Wie würde diese Aufgabe funktionieren? Kann mir jemand bitte einen Ansatz geben?

Text erkannt:

2. Leiten Sie aus den Additionstheoremen eine Formel für \( \cos (x+y)-\cos (x-y) \) her und zeigen Sie die Formel
\( \cos ^{2}(x)=\frac{1}{2}(1+\cos (2 x)) \)

Answer 1

cos(x + y) - cos(x - y)

= (cos(x)·cos(y) - sin(x)·sin(y)) - (cos(x)·cos(y) + sin(x)·sin(y))

= cos(x)·cos(y) - sin(x)·sin(y) - cos(x)·cos(y) - sin(x)·sin(y)

= - 2·sin(x)·sin(y)

cos^2(x)

= 1 - sin^2(x)

= 1 - sin(x)·sin(x)

= 1 + 1/2·(cos(x + x) - cos(x - x))

= 1 + 1/2·(cos(2x) - cos(0))

= 1 + 1/2·(cos(2x) - 1)

= 1 + 1/2·cos(2x) - 1/2

= 1/2 + 1/2·cos(2x)

= 1/2·(1 + cos(2x))

Answer 2

Es gibt ein Additionstheorem für \( \cos (x+y)\) . Suche es und schreibe es auf.

Es gibt ein Additionstheorem für \( \cos (x-y)\) . Suche es und schreibe es auf.

Bilde daraus die Differenz  \( \cos (x+y)-\cos (x-y) \) .

Was erhältst du?

cos(2x) ist übrigens cos(x+x), womit wir wieder bei der Anwendung des Additionstheorems von \( \cos (x+y)\) (für den konkreten Fall x=y ) wären.

Comments

Ich hatte noch nie dieses Thema .. Hab mir ein Video dazu angeguckt aber verstehe es immer noch nicht

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Warum siehst du ein Video an? Hast du dir inzwischen die beiden Additionstheoreme "besorgt"?

Hier stehen sie übrigens auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme

Wenn du sie endlich gefunden hast:

Es gibt ein Additionstheorem für \( \cos (x+y)\) . Schreibe es auf.

Es gibt ein Additionstheorem für \( \cos (x-y)\) . Schreibe es auf.

Bilde daraus die Differenz  \( \cos (x+y)-\cos (x-y) \) .

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Hab das bisher so:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { 2.) } \cos (x+y)-\cos (x-y) \Rightarrow \cos ^{2}(x)=\frac{1}{2}(1+\cos (2 x)) \\ \cos (x+y)=\cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y \\ \cos (x-y)=\cos x \cdot \cos y+\sin x \cdot \sin y\end{array} \)

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\( \begin{array}{l} \cos (x+y)=\cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y \\ \cos (x-y)=\cos x \cdot \cos y+\sin x \cdot \sin y\end{array} \)

Das ist doch schon mal was. Bilde nun damit

\( \begin{array}{l} \cos (x+y)- \cos (x-y)\end{array} \).

Einiges hebt sich auf, einiges verdoppelt sich.

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { 2.) } \cos (x+y)-\cos (x-y) \Rightarrow \cos ^{2}(x)=\frac{1}{2}(1+\cos (2 x)) \\ \cos (x+y)=\cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y \\ \cos (x-y)=\cos x \cdot \cos y+\sin x \cdot \sin y \\ (\cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y)-(\cos x \cdot \cos y+\sin x \cdot \sin y) \end{array} \)

Weiter weiß ich nicht

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Bearbeite deine letzte Zeile weiter. Wozu habe ich wohl

Einiges hebt sich auf, einiges verdoppelt sich.

geschrieben?