Muss das mit den Additionstheoremen gelöst werden?

Question

Problem/Ansatz:

Wieso ist sin(x-π) = -sin (x)

Muss das mit den Additionstheoremen gelöst werden? Das ist dann ja -cos(x) • sin(π)

Answer 1

Aloha :)

Nein, hier braucht es keine Additionstheoreme. Es reicht zu wissen, dass die Sinus-Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und die Cosinus-Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist:$$\sin(-x)=-\sin(x)\quad;\quad\cos(-x)=\cos(x)$$

Dann sollte man noch wissen, wo die "co"-Funktionen ihren Namen her haben. Sie heißen so, weil man im rechtwinkligen Dreieck damit zum complementären Winkel übergeht, also dem anderen Nicht-90-Grad-Winkel:$$\sin\left(x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\cos\left(x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\tan\left(x\right)=\cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$$$\cot\left(x\right)=\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$

Damit ist dann:$$\sin(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\sin(\pi-x)$$$$\phantom{\sin(x)}=-\sin(x-\pi)$$