Aloha :)
zu a) In der Abbildung erkennst du, dass der Punkt \(C(x|-0,5x+3)\) die Koordinaten \(C_1(-5|5,5)\) hat. In der Abbildung wurde also der Wert \(x=-5\) verwendet.
zu b) Das Dreieck wird durch zwei Vektoren aufgespannt:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\binom{4}{2}\quad;\quad\overrightarrow{AC_x}=\vec c_x-\vec a=\binom{x+3}{-\frac12x+4}$$Die Fläche des Dreiecks ist halb so groß wie die Fläche des Parallelogramms, das diese beiden Vektoren aufspannen. Zur Berechnung der Parallelogramm-Fläche ergänzen wir die beiden Vektoren um die z-Kompontente \(z=0\) (die beiden Vektoren liegen ja in der xy-Ebene) und verwenden das Vektorprodukt zur Flächenberechnung:$$F_{\triangle}=\frac12\cdot F_{\Box}=\frac12\cdot\left\|\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x+3\\-\frac12x+4\\0\end{pmatrix}\right\|=\frac12\cdot\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\4\cdot(-\frac12x+4)-2\cdot(x+3)\end{pmatrix}\right\|$$$$\phantom{F_{\triangle}}=\frac12\cdot\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\10-4x\end{pmatrix}\right\|=\left|5-2x\right|$$
zu c) Für \(x=2,5\) ist die Fläche \(F_\triangle\) null, d.h. für \(x=2,5\) bilden die 3 Punkte kein Dreieck, sondern liegen auf einer Geraden.
