Arithmetische Mittel und die Varianz einer Messreihe bestimmen

Question

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(29) Das arithmetische Mittel \( \bar{x} \) und die Varianz \( \sigma_{x}^{2} \) einer Messreihe \( x_{1}, \ldots, x_{n} \) sind definiert durch
\( \bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}, \quad \sigma_{x}^{2}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \quad \overline{x_{1}, \cdots, x_{2}} \quad \bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} \)
\( \bar{x}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \) arithmetisches Hittel
Zeigen Sie:
\( \begin{array}{l} \sigma_{x}^{2}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2} \end{array} \)
wobei \( \overline{x^{2}}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \).
Es gilt: \( \partial_{x}^{2}=\overline{x^{2}}-x^{-2}, \overline{x^{2}}=\frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} \)

Aufgabe:

Answer 1

Aloha :)

$$\sigma^2_x=\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2=\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i^2-2\cdot x_i\cdot\overline x+\overline x\,^2\right)$$$$\phantom{\sigma^2_x}=\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n2\cdot x_i\cdot\overline x+\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,^2$$$$\phantom{\sigma^2_x}=\underbrace{\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}_{=\overline{x^2}}-2\cdot\overline x\cdot\underbrace{\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^nx_i}_{=\overline x}+\frac1n\cdot\underbrace{\sum\limits_{i=1}^n\overline x\,^2}_{=n\cdot\overline x\,^2}$$$$\phantom{\sigma^2_x}=\overline{x^2}-2\cdot\overline x\cdot\overline x+\frac1n\cdot n\cdot\overline x\,^2=\overline{x^2}-2\cdot\overline x\,^2+\overline x\,^2=\overline{x^2}-\overline x\,^2$$

Comments

Super. Vielen lieben Dank