Summenformel für arithmetische Reihe 1+4+7+...+(3n+1)

Question

Bestimmen Sie eine Summenformel für die Summe 1+4+7+...+(3n+1), $$ n\in N₀ $$ und beweisen Sie
sie mittels vollständiger Induktion.

 

Ich komm nicht wirklich auf die Summenformel. Ich habe naiv an $$ \frac { n((3n+1)+1) }{ 2 } $$ gedacht, aber das funktioniert ja nicht. Ich sitz schon seit 2 Tagen an der Aufgabe.

Answer 1

1 + 4 + 7 + ... + (3n + 1)
2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 * (n + 1)

Wir addieren die obigen Terme

3 + 6 + 9 + ... + (3n + 3)

3 * (1 + 2 + 3 + ... + (n + 1)) = 3 * (n + 1)·(n + 2)/2

1 + 4 + 7 + ... + (3n + 1)  = 3 * (n + 1)·(n + 2)/2 - 2 * (n + 1) = (n + 1)·(3·n + 2)/2

Könntest du die jetzt beweisen ?

Comments

Ich sitze an der gleichen Aufgabe

Wie kommt man auf 2+2+2+...+2 = 2 * (n+1) ?

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bzw. müsste da nicht 3 + 6 + 9 ... stehen?

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Na wie viele 2 muss ich denn addieren ?

Für n = 0 habe ich eine 2 für n = 1 habe ich zwei und für n = 2 habe ich drei Zweien.

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Erstens ein MEGAGROßES dankeschön! Ich bin mir sicher dass du mit dieser Platform hier vielen geholfen hast!

Zweitens: mein Problem ist dass ich nicht an einen Ansatz komme. Ich würde hier um Gottes willen nicht um eine abschreibfertige Hausaufgabe warten!

Mein Problem ist es die Summenformel aufzustellen.

Sie anhand der Induktion zu beweisen wäre kein Thema.

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was verstehst du denn nicht?

Zunächst wird zu jedem Summanden 2 addiert. Dann wird jeder Summand durch 3 geteilt.

Zum Schluss erhält man eine recht einfache Arithmetische Reihe, von der man die Summenformel kennt.

Natürlich gibt es auch andere Verfahren die Summenformel herzuleiten. Man denke mal an das Verfahren wie Gauss es seinerzeit in der Schule gemacht hat um die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren.

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Wäre der erste Schritt beim Induktionsschritt

_n
∑ (3k+1) + (3n+4) = (n+1)(3n+2)/2 + (3n+4) ?
^k=1



 

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Nein. Der Ansatz ist denke ich verkehrt.

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Ok ich habs und denke mir gerade "Wie blöd konntest du nur sein"...

Ich habe voll übersehen dass in deinem Beispiel - 2 * (n + 1) gerechnet wurde um das nur gültig auf den vorhandenen Term zu machen und ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, dass wir immer noch BEIDE Terme angucken.

Somit habe ich

∑ (3k+1) = (n+1)(3n+2)/2


Ich gehe mal davon aus, dass es stimmt.

Dankeschön für alles!

Einen angenehmen Tag noch :) 

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Induktionsanfang
$$ \sum _{ i=0 }^{ 0 }{ i } =3*0+1=1=\frac { 2 }{ 2 } =\frac { 1*2 }{ 2 } =\frac { (0+1)*(3*0+2) }{ 2 } $$

Induktionsschritt

Die Formel sei für ein beliebiges n=k bewiesen. Nun gilt es das für n=k+1 zu zeigen.

Induktionsannahme: $$ \sum _{ i=0 }^{ k }{ i } =\frac { (k+1)*(3*k+2) }{ 2 } $$

$$ \sum _{ i=0 }^{ k+1 }{ i } =(3(k+1)+1)+\sum _{ i=0 }^{ k }{ i } \overset { (IA) }{ = } \frac { (k+1)(3k+2) }{ 2 } +3(k+1)+1=\frac { (k+1)(3k+2) }{ 2 } +\frac { 2*(3(k+1)+1) }{ 2 } =\frac { (k+1)(3k+2)+6(k+1)+2 }{ 2 } =\frac { (k+1)((3k+2)+6)+2 }{ 2 } $$

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Lieg ich denn richtig bis da hin?

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∑(k = 0 bis n) (3·k + 1) = (n + 1)·(3·n + 2)/2

 

Induktionsanfang

 

∑(k = 0 bis 0) (3·k + 1) = (0 + 1)·(3·0 + 2)/2

1 = 1

 

Induktionsschritt

 

∑(k = 0 bis n+1) (3·k + 1) = ((n + 1) + 1)·(3·(n + 1) + 2)/2

∑(k = 0 bis n) (3·k + 1) + (3·(n + 1) + 1) = (n + 2)·(3·n + 5)/2

(n + 1)·(3·n + 2)/2 + (3·n + 4) = (n + 2)·(3·n + 5)/2

(n + 1)·(3·n + 2) + 2·(3·n + 4) = (n + 2)·(3·n + 5)

(3·n^2 + 5·n + 2) + (6·n + 8) = (3·n^2 + 11·n + 10)

3·n^2 + 11·n + 10 = 3·n^2 + 11·n + 10

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DU BIST DER BESTE xD