Aufgabe:
1. In einer Urne befinden sich 9 Kugeln, wobei drei weiß und der Rest schwarz sind. Es werden vier Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der entnommenen weißen Kugeln an.
a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
b) Geben Sie die Verteilung VX der Zufallsvariablen X an.
c) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion FX der Zufallsvariablen X.
2. Sei (Ω,A,p) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5}. Sei Y : Ω→R eine diskrete Zufallsvariable, von der lediglich die Verteilungsfunktion:
FY : R→[0,1],FY(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧00,40,60,810,810,951x<00≤x<11≤x<2,2≤x<33≤x<4,4≤x<55≤x
bekannt ist.
Bestimmen Sie die Verteilung VY der Zufallsvariablen Y.
Problem/Ansatz:
Hallo! Wäre mein Ansatz und Lösungsweg richtig?
1.
a) Wahrscheinlichkeitsraum:
Ω = {(x₁,x₂,x₃,x₄) | xᵢ ∈ {w,s}, i=1,2,3,4}
X kann die Werte 0,1,2,3 annehmen
Grundmenge X(Ω) = {0,1,2,3}
b) Verteilung VX:
P(X = k) = [C(3,k) × C(6,4-k)] / C(9,4), wobei k = 0,1,2,3
Berechnung:
P(X = 0) = [C(3,0) × C(6,4)] / C(9,4) = 15/126 = 0,119
P(X = 1) = [C(3,1) × C(6,3)] / C(9,4) = 60/126 = 0,476
P(X = 2) = [C(3,2) × C(6,2)] / C(9,4) = 45/126 = 0,357
P(X = 3) = [C(3,3) × C(6,1)] / C(9,4) = 6/126 = 0,048
c) Verteilungsfunktion FX:
FX(x) =
0, für x < 0
0,119, für 0 ≤ x < 1
0,595, für 1 ≤ x < 2
0,952, für 2 ≤ x < 3
1, für x ≥ 3
2.
Bestimmung von VY aus der gegebenen Verteilungsfunktion
Die Verteilung VY lässt sich aus den Sprungstellen der Verteilungsfunktion FY ermitteln:
P(Y = 0) = 0,4
P(Y = 1) = 0,6 - 0,4 = 0,2
P(Y = 2) = 0,81 - 0,6 = 0,21
P(Y = 3) = 0,81 - 0,81 = 0
P(Y = 4) = 0,95 - 0,81 = 0,14
P(Y = 5) = 1 - 0,95 = 0,05
Verteilung VY:
VY = {(0, 0.4), (1, 0.2), (2, 0.21), (4, 0.14), (5, 0.05)}