Zufallsvariablen bei Urnenproblem

Question

Aufgabe:

1. In einer Urne befinden sich 9 Kugeln, wobei drei weiß und der Rest schwarz sind. Es werden vier Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable \( X \) gebe die Anzahl der entnommenen weißen Kugeln an.
a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
b) Geben Sie die Verteilung \( V_{X} \) der Zufallsvariablen \( X \) an.
c) Bestimmen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion \( F_{X} \) der Zufallsvariablen \( X \).
2. Sei \( (\Omega, \mathcal{A}, p) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit \( \Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}\right\} \). Sei \( Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) eine diskrete Zufallsvariable, von der lediglich die Verteilungsfunktion:
\( F_{Y}: \mathbb{R} \rightarrow[0,1], \quad F_{Y}(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & x<0 \\ 0,4 & 0 \leq x<1 \\ 0,6 & 1 \leq x<2, \\ 0,81 & 2 \leq x<3 \\ 0,81 & 3 \leq x<4, \\ 0,95 & 4 \leq x<5 \\ 1 & 5 \leq x \end{array}\right. \)
bekannt ist.
Bestimmen Sie die Verteilung \( V_{Y} \) der Zufallsvariablen \( Y \).

Problem/Ansatz:

Hallo! Wäre mein Ansatz und Lösungsweg richtig?

1.

a) Wahrscheinlichkeitsraum:
Ω = {(x₁,x₂,x₃,x₄) | xᵢ ∈ {w,s}, i=1,2,3,4}
X kann die Werte 0,1,2,3 annehmen
Grundmenge X(Ω) = {0,1,2,3}
b) Verteilung V_X:
P(X = k) = [C(3,k) × C(6,4-k)] / C(9,4), wobei k = 0,1,2,3
Berechnung:
P(X = 0) = [C(3,0) × C(6,4)] / C(9,4) = 15/126 = 0,119
P(X = 1) = [C(3,1) × C(6,3)] / C(9,4) = 60/126 = 0,476
P(X = 2) = [C(3,2) × C(6,2)] / C(9,4) = 45/126 = 0,357
P(X = 3) = [C(3,3) × C(6,1)] / C(9,4) = 6/126 = 0,048
c) Verteilungsfunktion F_X:
FX(x) =
0, für x < 0
0,119, für 0 ≤ x < 1
0,595, für 1 ≤ x < 2
0,952, für 2 ≤ x < 3
1, für x ≥ 3

2.

Bestimmung von V_Y aus der gegebenen Verteilungsfunktion
Die Verteilung VY lässt sich aus den Sprungstellen der Verteilungsfunktion FY ermitteln:
P(Y = 0) = 0,4
P(Y = 1) = 0,6 - 0,4 = 0,2
P(Y = 2) = 0,81 - 0,6 = 0,21
P(Y = 3) = 0,81 - 0,81 = 0
P(Y = 4) = 0,95 - 0,81 = 0,14
P(Y = 5) = 1 - 0,95 = 0,05
Verteilung VY:
VY = {(0, 0.4), (1, 0.2), (2, 0.21), (4, 0.14), (5, 0.05)}

Answer 1

Das sieht doch sehr gut aus. Ich kann da jetzt keinen Fehler feststellen. Schön. :)

Answer 2

1.

a) Zu dem Wahrscheinlichkeitsraum gehoert nicht nur die Grundmenge \(\Omega\), sondern noch eine Sigmaalgebra und ein auf der Sigmaalgebra definiertes Wahrscheinlichkeitsmass. Die Zufallsvariable \(X\) brauchst du dagegen in dieser Teilaufgabe ueberhaupt nicht zu erwaehnen.

b) Es haette genuegt, wenn du angegeben haettest, dass X hypergeometrisch verteilt ist und wenn du die Werte der Parameter angegeben haettest. Eine Aufforderung zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten kann ich der Aufgabenstellung nicht entnehmen.

c) Wenn deine unter b) unnoetigerweise durchgefuehrten Berechnungen korrekt sind, dann ist deine Loesung fuer diese Teilaufgabe auch richtig.

2. ist richtig.

Comments

Wenn unter b) die unnötiger Weise durchgeführten Rechnungen nicht gemacht werden, wie beantwortet man dann c) ?

Macht man die dann einfach unter c) ?

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Ja, das ist ein möglicher Lösungsweg.

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Eine Aufforderung zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten kann ich der Aufgabenstellung nicht entnehmen.

Da durch Berechnung aller Wahrscheinlichkeiten die Verteilung ebenso angegeben werden kann, ist eine Benennung der Verteilung gar nicht notwendig und möglicherweise auch gar nicht verlangt. Gefordert wird die Angabe einer Verteilung. Das kann entweder als Benennung der Verteilung erfolgen, aber auch durch Angabe der Wahrscheinlichkeitsverteilung in Tabellenform.