Wurzeln aufteilen: √(a·a) ≠ √a·√a, wenn a eine negativ Zahl ist?

Question

\( \sqrt { a \cdot a } = \sqrt { a } \cdot \sqrt { a } \) → für positive Zahlen

Aber:

\( \sqrt { a \cdot a } \neq \sqrt { a } \cdot \sqrt { a } \)→ für negative Zahlen

Wieso ist das so?

Answer 1

Weil \( \sqrt{ (-2) · (-2) } = \sqrt{4} \), aber \( \sqrt{-2} · \sqrt{-2} = \text{ nicht definiert } \), weil Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist in den reellen Zahlen.

Comments

Aber sqrt(-2) ist doch definiert als i*sqrt(2),
also wäre sqrt(-2)*sqrt(-2)=i^2*4=-4 was dann auf ein falsches ergebnis herausläuft.

hmm, ich versteh's nicht..

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Im Bereich der Komplexen Zahlen ist es definiert. Nicht im Bereich der reellen zahlen. Im Bereich der Komplexen Zahlen ist

√-2 = √2·i

und

(√2·i)^2 = -2

Dort gibt es also keine Probleme. Aber in der regel betrachtet man ja die reellen Zahlen.

Answer 2

Wenn du auf komplexe Zahlen hinaus möchtest: Die Wurzelfunktion ist für komplexe Zahlen nicht eindeutig definiert. Insbesondere ist das Problem, dass es nicht mehr so leicht ist, zu entscheiden, welche Lösung man wählt.

Es gibt eine Möglichkeit die Funktion differenzierbar über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus zu definieren, allerdings funktioniert das nur für nicht-negative Zahlen.

Es gibt andere Definitionsmöglichkeiten, die aber alle nicht auf ganz C definiert sind und mitunter etwas unintuitive Ergebnisse haben.

Z.B.

³√(-1) = 1/2*(1+i√3)

statt einfach -1.

Answer 3

Wie die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist. Du kannst aber schreiben

√(a*a) = √(|a|) * √(|a|)

|a|  ist dann der Betrag von a.

Du kannst aber auch einfach schreiben

√(a*a) = |a|