Question

Aufgabe:In welchem Punkt ist der Steigungswinkel 45°?

Problem/Ansatz:

Also ich soll jene Punkte des Funktionsgraphen von f berechnen, in denen der Steigungswinkel 45 Grad ist.

f(x)=1/6 (2x³-3x²-30x+8)

In der Erklärung in meinem Buch steht, ich soll den tan(45°) berechnen. Das wäre 1 und dann die zweite Ableitung von f gleich 1 setzen.

f'(x)=6x²-6x-30=1

ab hier komme ich aber halt auch nicht mehr weiter, weil es bleiben ja x² und x übrig, soll ich jetzt mit der pq-formel weitermachen?

Comments

Das kannst du machen, aber du solltest die richtige Ableitung verwenden:

\(f'(x)=x^2-x-5\)

---

also soll ich zuerst die Klammer ausmultiplizieren und dann die Ableitung bilden?

---

Ja, so solltest du es machen.

---

Lieber nicht. Klammer ableiten und den Faktor mitnehmen. Faktorregel. Damit vermeidet man Brüche, da ja alles glatt aufgeht.

Answer 1

Erste Ableitung nicht zweite Ableitung.

Und ja, das ist eine quadratische Gleichung. Was hindert dich jetzt also, die pq-Formel anzuwenden?

Du solltest aber deine Ableitung noch einmal überprüfen. Du hast den Vorfaktor \(\frac{1}{6}\) unterschlagen!

Comments

also ich habe jetzt die pq formel bei f'(x)=x₂-x-5 verwendet, dabei kommen aber

x1=2,7 und x2=-1,7 heraus

richtig wären aber laut meinem LH -2 und 3

---

Das Lösungsheft ist falsch und du hast falsch gerundet.

Kennst du den Satz von Vieta? Damit lassen sich solche Lösungen leicht prüfen, denn

\(p=-(x_1+x_2)\) und \(q=x_1x_2\). Wegen \(q=-5\neq (-2)\cdot 3=-6\) kann die Lösung aus dem Heft also nicht stimmen.

---

Ach, Moment. Du musst die Gleichung \(x^2-x-5=1\) lösen. Das führt dann auf \(x^2-x-6=0\). Dann passt auch die Lösung aus dem Lösungsheft.

Answer 2

Die erste Ableitung steht für die Steigung und deswegen solltest du die erste Ableitung gleich 1 setzen und dann nach x auflösen.

f(x) = 1/6·(2·x^3 - 3·x^2 - 30·x + 8)

f'(x) = 1/6·(6·x^2 - 6·x - 30) = x^2 - x - 5 = 1 --> x = -2 ∨ x = 3

Und obige Gleichung bringst du in die pq-Form x^2 + px + q = 0 und löst sie dann mit der pq-Formel. Ergebnisse stehen schon dahinter zur Kontrolle.

Jetzt noch die y-Koordinaten der Punkte berechnen und eine Skizze zur Kontrolle machen.

f(-2) = 20/3 → (-2 | 20/3)

f(3) = -55/6 → (3 | -55/6)

Skizze:

~plot~ 1/6·(2·x^3-3·x^2-30·x+8);(x+2)+20/3;(x-3)-55/6;{-2|20/3};{3|-55/6};[[-12|12|-10|8]] ~plot~

Comments

mit Satz des Vieta:

x^2-x-6= 0

(x-3)(x+2) = 0

x = 3 v x= -2