Aloha :)
Wenn eine Funktion \(f\) von \(n\) Messgrößen \(x_1,\ldots,x_n\) abhängt, die jeweils eine Messungenauigkeit \(\delta x_i\) aufweisen, pflanzen sich die einzelnen Fehler in das Ergebnis der Funktion \(f\) hinein fort. Der Fehler des Funktionswertes ist dann:$$(\delta f)^2=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\frac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\rho_{ik}\cdot\delta x_i\cdot\delta x_k$$
Dabei ist \(\rho_{ik}\) der Korrelationskoeffizient zwischen den Messgrößen \(x_i\) und \(x_k\).
Wenn alle Messwerte unabhängig voneinander sind, ist der Korrelationskoeffizient zwischen zwei unterschiedlichen Werten \(x_i\) und \(x_k\) gleich null. Das heißt \(\rho_{ik}=0\), falls \(i\ne k\). Der Korrelationskoeffizeint von einer Messgröße \(x_k\) mit sich selbst ist \(\rho_{kk}=1\). Daher gilt für \(n\) unabhängige Messwerte:$$(\delta f)^2=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\delta x_k\right)^2$$
Im konkreten Fall hängt die Funktion \(f\) nur von einer Variablen ab, daher ist:$$(\delta f)^2=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\delta x\right)^2\quad\implies\quad\delta f=\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\cdot\delta x$$
Du bestimmst hier also von deiner Funktion$$f(x)=\frac{\overbrace{1-x}^{=u}}{\underbrace{1+x^2}_{=v}}$$mittels der Quotientenregel die erste Ableitung:$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\overbrace{(-1)}^{=u'}\cdot\overbrace{(1+x^2)}^{=v}-\overbrace{(1-x)}^{=u}\cdot\overbrace{2x}^{=v'}}{\underbrace{(1+x^2)^2}_{=v^2}}=\frac{-1-x^2-2x+2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(1+x^2)^2}$$
Der Fehler der Funktion \(f\) an der Stelle \(x\) mit der Messunsicherheit \(\delta x\) lautet also:$$\delta f=\left|\frac{x^2-2x-1}{(1+x^2)^2}\right|\cdot\delta x$$
