Aufgabe: Nutze die Methode der Eigenfunktionserweiterung um folgende DGL zu lösen:
$$y''(x)+4y(s)=x \forall x \in (0,\pi)\text{ mit } y'(0)=0=y'(\pi)$$
Die Eigenwerte und Eigenfunktionen sind bekannt als $$\lambda_n=n^2 \text{ }\forall n \in \mathbb{N_0} \text{ und } u_n=cosnx \text{ } \forall n \in \mathbb{N_0}$$ und die Fourierreihe für f(x)=x darf genutzt werden: $$x\sim\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum \limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{((-1)^n-1)}{n^2}cosnx$$
Mein Ansatz:
$$\sum \limits_{n}(4-n^2)c_ncosnx=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum \limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{((-1)^n-1)}{n^2}cosnx$$
Dann ist für n=0: $$c_0=\frac{\pi}{8}$$
$$\text{ Da n=2 eine NST von }4-n^2 \text{ ist, ist } c_2 \text{ unbestimmt, also für n=2:} c_2cos(2x)$$
Für alle anderen n (also n=1 und n größer als 2) ist:
$$\sum \limits_{n=1, n\geq3}\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2 (4-n^2)}cosnx$$
Und dann insgesamt:
$$y(x)=\frac{\pi}{8}-c_2cos(2x)+\sum \limits_{n=1, n\geq3}\frac{2((-1)^n-1)}{\pi n^2 (4-n^2)}cosnx$$
Das erfüllt auch y(0)=y(pi)=0, aber ich schaffe es einfach nicht, das auch in die DGL einzusetzen und das zu überprüfen. Stimmt meine Lösung soweit, oder sind irgendwo Fehler? Bin für jeden Tipp dankbar :)
