Vollständige Induktion mit Fakultät und Bruch

Question

Aufgabe:

1/2n! größergleich 1/(2n+1)^2n für n größergleich 1, mittles vollständiger Induktion.

Hätte jemand einen Lösungsvorschlag?

Comments

Fang mal an, wie weit kommst Du? Schreib Ind. Vor. und Ind. Beh. sorgfältig auf (achte auf Klammern).

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Text erkannt:

\( \pi \)
\( \begin{array}{l} \frac{1}{(2 n+2)!} \geq \frac{1}{(2 n+3)^{2 n+2}} \\ \text { Aquivalent zu: }(2 n+2)!\leq(2 n+3)^{2 n+2} \\ 2 \cdot(n+1)!\geq(2 n+3)^{2 n+2} \\ (2 n+2) \cdot(2 n+1) \cdot(2 n) \geq(2 n+3)^{2 n+2} \\ (1 v) \\ (2 n+3)^{2 n+2}=(2 n+3)^{2 n} \cdot(2 n+3)^{2} \geq \\ (2 n+3)^{2 n} \cdot(2 n+3) \geq(2 n+3)^{2 n} \end{array} \)

Wäre dieser Ansatz korrekt?

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Es ist doch

$$(2n+1)^{2n}=(2n+1)\cdot(2n+1)\cdot(2n+1)\cdot(2n+1)\cdot(2n+1)\cdots (2n+1)\\\quad \geq 2n \cdot(2n-1)\cdot(2n-2)\cdots\cdot 1$$

(jeweils 2n Faktoren)

Damit ist doch jeder Induktionsbeweis hinfällig

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Sicherlich die bessere Lösung ja, jedoch legt mein Prof. leider viel Wert es mit Induktionsanfang und Induktionsschluss zu beweisen, hättest du dazu einen Lösungsvorschlag?

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Du bist mit Deinem Versuch schon irgendwie auf der richtigen Spur. Allerdings hast Du gleich in der 3. Zeile das Ungleichheitszeichen verdreht.

Ich würde Dir raten, es noch einmal selbst zu versuchen. Beachte auch den Hinweis von Nudger, die Induktionsvoraussetzung sorgfältig aufzuschreiben...

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Noch als Tipp: Nachdem Du Ind.Vor. und Ind. Beh. vollständig aufgeschrieben hast, fang mit der linken Seite der Ind.Beh. an, forme um, so dass die Ind. Vor. angewendet werden kann. Danach schätze weiter nach unten ab, so dass Du (hoffentlich) bei der rechten Seite der Ind. Beh. rauskommst.

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen im Ind. Schritt führen normalerweise nicht zum Ziel.

Bis zu "Danach schätze..." solltest Du auf jeden Fall kommen. Wenn's dann hakt, schauen wir weiter.

Answer 1

Zeige mit Induktion nach n, dass k^n ≥ k! für alle n ≥ 1 gilt (hierbei soll k ≥ 2 eine beliebige natürliche Zahl sein).

Dann setze k := 2n ≥ 2 und es folgt dann wg des Obigen (2n)^n ≥ (2n)!.

D.h. nach Transitivität [wg. (2n+1)^(2n) ≥ (2n)^n)] dann auch (2n+1)^(2n) ≥ (2n)!. Beim Kehrwert dreht sich dann die Ordnungsrelation und das wolltest du ja zeigen.

Comments

Besten Dank!

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Gerne. Freut mich, dass es dir geholfen hat :)

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Wenn ich in der ersten Zeile k=3 setze und n=1 dann steht da 3>= 6

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k = 3 kann schon mal gar nicht sein, denn k ist eine gerade Zahl.

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k ≥ 2 eine beliebige natürliche Zahl sein

Beachte das Wort "beliebig"

Aber auch \(4^1\geq 4!\) wäre eine Überlegung wert.