Maximum einer Menge bezüglich einer Ordnungsrelation

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Ordnungsrelation:

Sei ℕ+:=ℕ∖{0} und sei ⪯ := {(u,v) ∈ ℕ+ × ℕ+ : v∣u} eine Ordnungsrelation und sei M die Menge aller natürlichen Zahlen die durch 5 teilbar sind, M = {5, 10, 15, 20....}

Diese Menge M hat laut Lösung bezüglich der Relation ein Maximum mit m∈M = 5.

(Außerdem auch ein größtes Element, eine obere Schranke, ein Supremum welches in M liegt → Darum geht es nicht)

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Verständnisproblem warum das Maximum = 5 sein soll. Ein Element ist maximal, wenn es in M kein echt größeres Element bezüglich der Relation R gibt. Es gibt für v = 5 bezüglich der Relation unendlich viele Tupel der Form (5,5), (10,5), (15,5)...(u,5). Allerdings gibt es für v = 10 ebenso unendlich viele Tupel der Form (10,10), (15,10), (20,10)....(u,10) und 10 ist ja trivialerweise größer als 5. Außerdem ist rein grafisch ein Maximum immer oben in einem Hasse Diagramm, hier ist allerdings das kleinste Element von M das Maximum.

Answer 1

Es gibt für v = 5 bezüglich der Relation unendlich viele Tupel der Form (5,5), (10,5), (15,5)...(u,5).

Korrekt.

Allerdings gibt es für v = 10 ebenso unendlich viele Tupel der Form (10,10), (15,10), (20,10)....(u,10)

Korrekt.

und 10 ist ja trivialerweise größer als 5.

Da ist der Fehler!

Bezüglich deiner Relation gilt \(10\preceq 5\). Das sich zu überlegen sollte erklären, wieso \(5\) das tatsächlich größte Element ist.

Außerdem ist rein grafisch ein Maximum immer oben in einem Hasse Diagramm, hier ist allerdings das kleinste Element von M das Maximum.

Dein Denkfehler ist, dass du im Kopf immernoch die "natürliche" Ordnung der ganzen Zahlen betrachtest. Nach der wird hier aber gar nicht gefragt. Bestimmt mit Absicht ist diese Ordnungsrelation genau andersherum, als man intuitiv denken würde. Wenn du deine Elemente nicht \(5,10,15,\ldots\) nennen würdest, sondern \(a,b,c,\ldots\) und dich quasi dazu zwingst nur die in der Aufgabe erwähnte Relation im Kopf zu haben, hättest du dann das gleiche Problem?

Comments

Das ist mir etwas zu kurz ehrlich gesagt. Wie ist die Argumentation von der Relation zwischen 10 und 5 zum Maximum?

Und noch ein anderer Gedankengang:
Ist 5 das größte Element weil es das größte Element ist das die "kann-durch-5-geteilt-werden"-Relation mit allen Elementen der Menge M erfüllt? Das wäre ja bei 10 nicht mehr der Fall, weil 10 die 5 nicht in den Natürlichen Zahlen teilt.

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Wenn du deine Elemente nicht \(5,10,15,\ldots\) nennen würdest, sondern \(a,b,c,\ldots\)

Ja dann hätte ich das selbe Problem, weil auch da gilt (a,a), (a,b), (a,c)....(a,z) (a, aa)....usw. und dann käme wieder (b,b), (b,c), (b,d)....usw.

Ich verweise auf meinen anderen Kommentar: Mir ist nicht ganz klar, was "Im Bezug auf die Relation" bedeuten soll.

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Also erst einmal gilt \(10\preceq 5\), weil \(5|10\), wie in der Definition von \(\preceq\) aufgeführt. Damit wissen wir schonmal, dass \(10\) kein Maximum sein kann, ja?

Jetzt sehen wir aber auch ein, dass \(5\) ein Teiler jedes Vielfachen von \(5\) ist. Also laut Definition von \(M\) gilt für alle \(m\in M:5|m\), oder anders ausgedrückt: \(\forall m\in M:m\preceq 5\). Damit ist \(5\) unser Maximum.

Wo genau ist dein Problem in dieser Argumentation?

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Nach längerer Meditation ist es mir jetzt klar. Das hier

\(\forall m\in M:m\preceq 5\)

war der Schlüssel.
Vielen Dank