Beweisen Sie ausgehend von dieser Definition sowie dem Additionstheorem

Question

Im Folgenden sei

\( \exp : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \)
die Exponentialfunktion, eingeschränkt auf die reellen Zahlen. Beweisen Sie ausgehend von dieser Definition sowie dem Additionstheorem
\( \exp [x+y]=\exp [x] \cdot \exp [y], \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \)
die folgenden Eigenschaften dieser Exponentialfunktion:
(a) \( \exp (x)>0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
(b) \( \exp : \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) ist streng monoton steigend und injektiv (wir werden später im Semester einsehen, dass \( \exp : \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty) \) sogar bijektiv sein muss).
(c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \exp [n]=\infty \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \exp [-n]=0 \).

Comments

Warum postest Du dauernd Aufgaben ohne Fragen, ohne Vorüberlegungen, ohne eigene Ideen? Soll jemand für Dich Hausaufgaben machen?

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Vorschlag zu (a): Für alle \(x\in\R\) gilt
\(1=\exp[0]=\exp[x+(-x)]=\exp[x]\cdot\exp[-x]\implies\exp[x]\ne0.\\ \exp[x]=\exp\hspace{-2.5pt}\left[\frac x2+\frac x2\right]=\exp\hspace{-2.5pt}\left[\frac x2\right]\cdot\exp\hspace{-2.5pt}\left[\frac x2\right]>0\).

Answer 1

a) Betrachte zunächst nur \(x\geq 0\). Aufgrund der Reihendarstellung sollte klar sein, warum dann \(\exp(x)>0\) sein muss. Betrachte dann \(z=x+y\geq 0\), wobei \(x\) und \(y\) unterschiedliche Vorzeichen haben. Mit dem Additionstheorem folgt dann, dass auch \(\exp(x)>0\) für \(x<0\) gelten muss.

b) Leite die Reihendarstellung ab und erkenne, dass die Ableitung wieder \(\exp(x)\) ist. Aus a) folgt, dass die Ableitung strikt positiv ist. Das liefert strenge Monotonie und damit gleichzeitig die Injektivität (warum?).

c) Da nach a) und b) die Exponentialfunktion strikt positiv ist und auch die erste Ableitung strikt positiv ist, muss der Graph für \(x\to \infty\) immer stärker anwachsen (linksgekrümmt, da auch die zweite Ableitung strikt positiv ist). Für den anderen Grenzwert kann man unter Anwendung des Additionstheorem mit \(\exp(0)=\exp(n-n)=\exp(n)\exp(-n)=1\) zeigen, dass \(\exp(-n)=\frac{1}{\exp(n)}\) gilt. Damit folgt mit dem ersten Grenzwert die Konvergenz gegen 0.

Answer 2

Hier noch ein Weg, der ohne Ableitung etc. auskommt.

Zunächst ergeben sich folgende Relationen direkt aus der Summendefinition:

\(\operatorname{exp}(0)=1\)
\(\boxed{x>0} \Rightarrow \operatorname{exp}(x)> 1\) und auch \(\operatorname{exp}(x)> x\quad (1)\)

(a)

Wegen des Additionstheorems gilt:

\(x<0 \Rightarrow 1= \operatorname{exp}(x)\underbrace{\operatorname{exp}(-x)}_{>0}\Rightarrow\operatorname{exp}(x)>0 \)

(b)

\(y>x\Rightarrow\)

\(\operatorname{exp}(y)-\operatorname{exp}(x)= \operatorname{exp}(x)(\operatorname{exp}(y-x)-1)\stackrel{(1),(a)}{>}0\)

Aus strenger Monotonie folgt sofort Injektivität.

(c) (nochmal (1) anwenden)

\(x> 0 \Rightarrow \operatorname{exp}(x) > x \stackrel{x\to \infty}{\longrightarrow}\infty \displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to \infty} \operatorname{exp}(x) = \infty\)

Per Additionstheorem und Standard-Grenzwertregel:

\(\operatorname{exp}(-x) = \frac 1{\operatorname{exp}(x)} \stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}0 \displaystyle \Rightarrow \lim_{x\to \infty} \operatorname{exp}(-x) = 0\)