Konvergenzordnung bestimmen bei Folge

Question

Von mindestens welcher Ordnung konvergiert die Folge (x_n)_n≥1 gegen x∗ = 0, wobei x_n =1/n^2?

Ich weiß man soll hier 1/(n+1)^2 <=C*(1/n^2)^p überprüfen. Ich meine p=1 (bzw. dann C=1) passt hier offensichtlich aber wie argumentiere ich bei p=2?

Answer 1

Für \(p=2\) ist das ja auch relativ offensichtlich nicht erfüllt. Du wirst kein \(C>0\) finden, so dass $$\frac{1}{(n+1)^2}\leq C\left(\frac{1}{n^2}\right)^2=C\frac{1}{n^4}$$ für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt.

Was ist deine Frage? Wie man das näherhin argumentiert?

Comments

Na ja, ich hätte halt gedacht, dass C*1/n^4 jetzt nicht sooo aussagekräftig ist, also, dass man das sofort sieht aber ok

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Vielleicht so klarer: $$\frac{n^4}{(n+1)^2}=\frac{n^4}{n^2+2n+1}=\frac{n^2\cdot n^2}{n^2(1+2/n+1/n^2)}=n^2\frac{1}{1+2/n+1/n^2}$$ Ist diese Folge beschränkt?

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nein ist sie nicht