Zeigen Sie: Jede reelle Folge (a_{n})_{n ∈ ℕ}, die folgende Ungleichung erfüllt, konvergiert

Question

Aufgabe:

Sei \( c \in \mathbb{R} \) mit \( 0<c<1 \). Zeigen Sie: Jede reelle Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), die folgende Ungleichung erfüllt, konvergiert.

$$ \left|a_{n+1}-a_{n+2}\right| \leq c \frac{\left|a_{n}-a_{n+1}\right|}{1+\left|a_{n}-a_{n+1}\right|} \quad \forall n \in \mathbb{N} $$

Comments

Hallo,

ich bin auch verwirrt, weil doch aus dieser Ungleichung folgt:

$$|a_{n+2}-a_{n+1}| \leq c |a_{n+1}-a_n|$$

Und das reicht, um Konvergenz zu zeigen. Warum dann also diese Ungleichung?

Gruß Mathhilf