Rentenbarwert (vorschüssig und nachschüssig) nach n auflösen

Question

Nachschüssigen Rentenbarwert nach n auflösen

B = R * 1/q^n * (q^n - 1)/(q - 1)

Vorschüssigen Rentenbarwert nach n auflösen

B = R * q/q^n * (q^n - 1)/(q - 1)

Problem/Ansatz:

Diese Formel(n) soll nach n umgestellt werden. Ich habe gesehen, dass im Forum Rentenbarwert vorschüssig schon mal nach n umgeformt wurde. Aber ich muss das genau mit dieser Formel machen.

Ich würde mich freuen, wenn klare Umformungen aufgezeichnet werden, damit ich es besser nachvollziehen kann.

Ich freue mich auf Eure Hilfe und bedanke mich im Voraus.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Rentenbarwert nach n wandeln

Stichworte: rentenrechnung

ich würde mich freuen, wenn mir diese Formel nach n umgeformt wird und wenn die Rechenschritte angezeigt werden.

Rentenbarwert vorschüssig:

B=R*1/q^n*q^n-1/q-1

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Die Frage existiert nicht bereits. In der anderen Frage geht es um eine völlig andere Aufgabe. Diese Frage hier beinhaltet lediglich einen Teil von dem, was in der anderen Frage gemacht werden muss, das heißt aber nicht, dass diese Frage bereits existiert.

Ansonsten müsste man das halbe Forum löschen, weil es immer irgendwo eine Frage gibt, wo sich Teile wiederholen!

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Vor allem fehlen Klammern um Zähler und Nenner.

Fragestellerin ist mittlerweile am verlinkten Ort aufgeschlagen.

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Tipp zum Rechnen:

substituiere: q^n = z

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Am 16. Juli 2024 hatte ich Dir bei Deiner letzten Frage geschrieben

Vor allem fehlen Klammern um Zähler und Nenner.

Die fehlen noch immer.

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Ich habe gesehen, dass im Forum Rentenbarwert vorschüssig schon mal nach n umgeformt wurde. Aber ich muss das genau mit dieser Formel machen.

Ja, weil man dir das schon einmal haarklein vorgerechnet hat! Wieso stellst du deine Frage also nach fast 5 Monaten erneut?!

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Muss ich die Klammern um Zähler und Nenner doppelt setzen?

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Bei dir fehlt q nach R, es geht um Vorschüssigkeit

Tipp beim Rechnen mit Zahlen:

Substituieren q^n=z

Beispiel: R = 1000, q=1,05, B= 10000

10000= 1000*1,05*(1,05^n-1)/(0,05*1,05^n)

10000 = 1000*1,05*(z-1)/(0,05*z)

10*0,05z/1,05 = z-1

0,4761905z = z-1

-0,5238095 = -1

z = 1,090909

resubstituieren:

1,05^n = 1,090909

n= ln1,090909/ln1,05

n= 13,25 Jahre

Answer 1

Gehe Schritt für Schritt vor. Dazu bringen wir erstmal alle vernünftig auf einen Bruch:

\(B=R\frac{q^n-1}{q^n(q-1)}\)

Division durch \(R\) und Multiplikation mit \(q-1\) liefert

\(\frac{B(q-1)}{R}=\frac{q^n-1}{q^n}=1-\frac{1}{q^n}\)

Hier wurde zunächst der Bruch auf der rechten Seite vereinfacht, indem man die Differenz im Zähler auseinanderzieht und kürzt. Jetzt können wir -1 rechnen.

\(\frac{B(q-1)}{R}-1=-\frac{1}{q^n}\quad | \cdot (-1)\)

\(1-\frac{B(q-1)}{R}=\frac{1}{q^n}\)

Wir schreiben jetzt die linke Seite um, indem wir alles auf einen Bruch bringen, denn \(1=\frac{R}{R}\) und bilden dann den Kehrwert. Das liefert (ich vertausche hier außerdem einmal die linke mit der rechten Seite)

\(q^n=\frac{R}{R-B(q-1)}\quad | \log_{q}\)

\(n=\log_{q}\left(\frac{R}{R-B(q-1)}\right)=\frac{\ln\left(\frac{R}{R-B(q-1)}\right)}{\ln(q)}\)

Answer 2

Achtung: Meiner Meinung nach hast du die Formel für den nachschüssigen Barwert benutzt.

Schreibe dir folgende Umformung in ordentlicher Schreibweise auf und versuche jede Umformung von Zeile zu Zeile nachzuvollziehen.

Nachschüssigen Rentenbarwert nach n auflösen

B = R * 1/q^n * (q^n - 1)/(q - 1)

B = R * (q^n - 1)/(q^n * (q - 1))

B * q^n * (q - 1) = R * (q^n - 1)

B * q^n * (q - 1) = R * q^n - R

R = R * q^n - B * q^n * (q - 1)

R = (R - B * (q - 1)) * q^n

R/(R - B * (q - 1)) = q^n

n = LN(R/(R - B * (q - 1))) / LN(q)

Vorschüssigen Rentenbarwert nach n auflösen

B = R * q/q^n * (q^n - 1)/(q - 1)

B = R * q * (q^n - 1)/(q^n * (q - 1))

B * q^n * (q - 1) = R * q * (q^n - 1)

B * q^n * (q - 1) = R * q * q^n - R * q

R * q = R * q * q^n - B * q^n * (q - 1)

R * q = (R * q - B * (q - 1)) * q^n

R * q = (R * q - B * (q - 1)) = q^n

n = LN(R * q/(R * q - B * (q - 1))) / LN(q)

Man kann jetzt noch ein Logarithmengesetz anwenden, muss man aber nicht

n = (LN(R/(R * q - B * (q - 1))) + LN(q)) / LN(q)

n = LN(R/(R * q - B * (q - 1))) / LN(q) + 1

Comments

Ja, stimmt ich habe ihnen leider die falsche Formel gegeben. Tatsächlich ist es die nachschüssige Formel. Es tut mir leid…

Ich meinte die Formel:

B=R*q*(1/q^n)*(q^n-1/q-1)

Ich würde mich freuen, wenn Sie mir zeigen könnten wie man diese Formel hier nach Laufzeit n umstellen kann…

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Ich meinte die Formel: ...

Die Klammern. Um den Zähler, und um den Nenner. Sie fehlen.

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B=R·q·(1/qⁿ)·(qⁿ-1/q-1) müsste B=R·q/qⁿ·(qⁿ-1)/(q-1) geschrieben werden oder noch besser B=\( \frac{R·q}{q^{n}} \) ·\( \frac{q^n-1}{q-1} \).

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Eigentlich hättest du das fehlende q einfach dazuschreiben können und die Auflösung korrigieren können. Das Vorgehen ist doch ähnlich.

Ich habe es aber mal für dich gemacht und oben in die Antwort eingepflegt.