Wie beweise ich, dass jede abgeschlossene echte Untergruppe von R (R= reelle Zahlen) die Form gZ (Z=ganze Zahlen) …

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen, ich habe folgende Frage:

Wie beweise ich, dass jede abgeschlossene echte Untergruppe von R (R= reelle Zahlen) die Form gZ (Z=ganze Zahlen) für ein g≠0 hat?

Dankeschön im Voraus!

Problem/Ansatz:

Comments

Was ist denn eine abgeschlossene Untergruppe?

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Es geht ja wohl um die Gruppe (ℝ,+).

Eine Untergruppe davon ist aber doch z.B. auch (M,+) mit

M={x*0,5 | x∈ℤ }.

Und das kannst du nicht in der gewünschten Form schreiben.

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Wieso nicht? M=gZ mit g=0.5

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Was ist denn eine abgeschlossene Untergruppe?

Vermutlich doch wohl eine solche Untergruppe, die bezüglich der Topologie auf ℝ abgeschlossen ist, so dass dafür gesorgt ist, dass der zu beweisende Satz nicht durch ℚ kaputt gemacht wird.

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Ich danke Dir für diesen Hinweis.

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Vielleicht mal ein Tipp: Setze

$$g:=\inf\{x \in U \mid x>0\}$$

Zeige: Wenn g>0 ist, dann ist es ein geeignetes g.