Wie viele Quadratmeter der umliegenden Wiese kann das Schaf abgrasen?

Question

Gegeben sei ein Leuchtturm mit einem Durchmesser von 10m.
Der Leuchtturm ist umgeben von einer Wiese und an einer Stelle seiner Außenwand ist ein Schaf mit einem 20m langen Seil angebunden.

Wie viele Quadratmeter der umliegenden Wiese kann das Schaf abgrasen?

Anmerkungen:

Das Schaf selbst hat für die Aufgabe keine relevante Ausdehnung und kann idealisiert als das Ende des Seiles betrachtet werden. Zu beachten ist, dass sich das Seil bei der Bewegung des Schafes ggf. an die Rundung der Turmaußenwand anschmiegt und sich die Reichweite hinter dem Turm (die Befestigungsstelle nennen wir mal "vorne") damit laufend verkürzt. Ebenso kommt es zu einer Überlappung der erreichbaren Bereiche hinter dem Turm, wenn sich das Schaf links oder rechts um den Turm herum bewegt.

Comments

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem_(Geometrie)#Die_Ziege_am_Silo

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Soll die Fläche

  

numerisch mit einem Rechner bestimmt werden ?

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Gefordert ist nur ein Ergebnis. :)

Wenn es eine irgendwie geartete Gleichung gäbe, wäre das elegant.
Wenn es die nicht geben kann, wäre eine Begründung gut.

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Wenn α in ° gegeben ist, gilt für P(x|y):

\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} cosα\\sinα \end{pmatrix} \)+\( \vec{PQ} \) mit |\( \overline{PQ} \)|=20-\( \frac{α}{180} \) ·π.

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Warum testest du die Formeln, die du veröffentlichst, nicht vorher ?
• Faktoren fehlen,
• Vorzeichenfehler,
• Definitionsbereich für α fehlt.

Answer 1

Also, dann mach ich mal eine Antwort dazu:

Im Turmbogen liegt das Seil von B bis zum Tangentenpunkt T am Turm an, das Seil geht tangential in Richtung (-sin(t),cos(t)) und kürzt sich um den Betrag r t ein.

Den Schnittpunkt mit der x-Achse musste ich numerisch bestimmen, dann integrieren oder mit einem Polygon ausmessen (TurmBogen_~ )

Fressfläche zusammenstellen

Comments

Erstmal vielen Dank für den Aufwand, den Du betrieben hast.
Wenn ich die Summe der Werte für die von Dir angeführten Teilflächen mal 2 nehme (für die Seite jenseits der X-Achse) komm ich als Ergebnis

1199,18266 m2 , die das Schaf abgrasen kann.

Ich glaube, das ist nahe am Ergebnis. Aber eben nur nahe.
Es ist zumindest näher als alle Lösungen, die ich bislang gesehen habe.

Ich habe eine Lösung, die mit Hilfe der Monte Carlo Methode zu einem Ergebnis kommt, das mir plausibel erscheint.
Ich habe mich gefragt ob es für die Aufgabe eine geschlossene Lösung gibt.

"[...] musste ich numerisch bestimmen, dann integrieren oder mit einem Polygon ausmessen."

Das klingt auch nach einer Abschätzung oder ?
Ich bin mir nicht sicher was du da genau gemacht hast und hätte mich gefreut, wenn es eine Formulierung gäbe, die eben "radiusLeuchtturm" und "längeSeil" als einzige Variablen gehabt hätte.

Wenn es Gründe gibt, warum das nicht gehen kann, wäre auch das eine Lösung und es bleibt die Möglichkeit der Annäherung.

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Hm,

eine Näherung kommt nach meinen Werten (15 Stellen) auf

2 TurmBogen_{~} + l^2 pi/2 - r^2 pi

=1120.642844165

Wie kommt 1199,18266 zustande? Läßt du die Ziege auch das Gras fressen auf dem der Turm steht?

Um die Fläche des TurmBogen integrieren zu können muss der Schnittpunkt der Funktion v(t) mit der x-Achse (die Integrationsgrenze ) bestimmt werden.

Das geht nur numerisch - da komm ich auf

v( 2.043244940056) = (-10.98736816146, 2.81374923361 * 10⁻^1²)

also sicher auf 10^-10 genau hin, was als Zahlenwert für die Fläche

1120.677042754

bedeutet, das ist keine Abschätzung sondern eine ziemlich genaue Näherung - sicher besser als was man Monte-Carlo-mäßig (wie viel durchgänge?) rausbekommt.

Und nein, für diese Aufgabe gibt es vermutlich keine geschlossene Lösung, siehe Funktion v(t). Es sei denn jemand hat einen ganz anderen Ansatz - wie immer der aussehen könnte? Und r,l sind die bestimmenden Parameter. Ich kann mit meinem Modell auch andere Seilängen und Turmradien verarbeiten und eine ähnlich exakte Lösung generieren...

l=25 -> Flächenwert ~ 1817.038877637

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1199,18266 ergab sich aus den Werten in Deiner Grafik dieser Antwort, also  

( 285,43206 + 314,15927) * 2

Die Ziege frisst bei mir nur um den Turm herum, wie es in der Aufgabe beschrieben ist. Das wären sonst ja auch 5^2*Pi Differenz, also merklich.

Monte-Carlo lass ich gerade noch mal laufen und wir stimmen da wohl ziemlich genau überein.

http://www.ex2.de/schaf.php

Derzeit 1120,6785 sagen wir etwa +/- 0,001 nach 170 Milliarden Iterationen ^^
Das schwankt hinten ziemlich, bin mir nicht sicher wie zufällig der Zufall da ist. Der prozentuale Zuwachs an Messwerten wird hintenraus ja immer geringer.

Ich müsste hier nicht fragen, wenn ich mir anders zu helfen wüsste.
Jedenfalls ist dein Ergebnis so nah dran, dass dein Modell wohl sehr wahrscheinlich richtig ist.

Interessehalber: Modell bedeutet hier, du betreibst einen Algorithmus, der die Fläche unter der Außenkante des erreichbaren Bereiches vermisst? Die Kontur der Außenkante müsste ja auch angenähert sein, oder?
Ich würde Dein Ergebnis gern nachvollziehen können.

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Nun,

dann lade ich mein Modell mal hoch - guckst du?

https://www.geogebra.org/m/wq9ru93e

Wenn Du Fragen dazu hast, nur zu!

Die Außenkante wird durch die Function v(t) beschrieben, ist also im Rahmen der numerischen Stellenzahl (ggb 15 Stellen) genau. Mein Wert sollte also zumindest auf 4-5 Stellen nach dem Komma genau sein - sagen wir 1120.677 m²...

Danke, für die Bestflagge!

Ach ja, Du kannst T entlang der Turmkante bewegen.