Zeige: für alle x 0 gilt: (x-1)/x ≤ ln(x)

Question

Aufgabe: Zeige: für alle x > 0 gilt: (x-1)/x ≤ ln(x), kann mir jemand helfen?

Comments

Dürft ihr die Integraldarstellung des natürlichen Logarithmus benutzen?
$$x\geq1\Rightarrow \ln x = \int_1^x\frac 1t\, dt$$

Answer 1

ln(x) ≤ x - 1 für alle x > 0 ebenso bekannt

Mit \(x>0\) gilt auch \(\frac1x>0\) und damit
$$\hspace{24px}\ln\hspace{-2px}\left(\frac1x\right)\leq\frac1x-1\\\implies-\ln(x)\leq\frac{1-x}x\\\implies\ln(x)\geq\frac{x-1}x.$$

Comments

Genial.                              .

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Super! So einfach! Abend gerettet! Danke Dir

Answer 2

Bei x=1 sind beide gleich, und gleiche Steigung, danach und davor vergleiche die Steigungen.

lul

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Leider "kennen" wir im ersten Semester ANA 1 bis jetzt noch keine Steigungen... aber das müsste ja,irgendwie umzuformulieren sein

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Habt ihr für ln x schon eine Reihenentwicklung?

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Wie abakus sagt um mit ln zu vergleichen muss man Eigenschaften von ln kennen, wie habt ihr denn ln definiert bzw e^x

lul

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wir haben ln als Umkehrfunktion von EXP(X) eingeführt

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eine Reihenentwicklung für ln(x) haben wir noch nicht
ln(xy) = ln(x) + ln(y) ist bekannt
ln(xhochn) =n ln(x) ebenso
e ^x ≥ 1+x für alle x aus R
ln(x) ≤ x - 1 für alle x > 0 ebenso bekannt

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Wenn der Graph von (x-1)/x unterhalb von ln(x) verlaufen soll, muss der Graph von der Umkehrfunktion von (x-1)/x oberhalb von Exp(x) verlaufen.

Habt ihr von Exp(x) die Reihenentwicklung?

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ja, exp(x) haben wir mit der Reihenentwicklung definiert

"Wenn der Graph von (x-1)/x unterhalb von ln(x) verlaufen soll, muss der Graph von der Umkehrfunktion von (x-1)/x oberhalb von Exp(x) verlaufen."

das ist einleuchtend, ist versuche es damit mal, hoffentlich ist es dem Tutor aus "streng" genug :)

Danke!!

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Wie habt ihr nachgewiesen, dass gilt:

e^x ≥ 1 + x bzw. ln(x) ≤ x - 1

Ich kenne das so, dass man das z.B. über die Steigung macht. Schau dir da nochmal den Nachweis an oder stell den ggf. zur Verfügung.

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ex ≥ 1 + x

das habe ich nur selber gelöst, war eine Übungsaufgabe davor, mit Fallunterscheidung: x<-1 ist klar, da e^x immer > 0.
x > -1 mit der Reihenentwicklung e^x = 1 + x + x²/2! +x³/3!+ ... die Summe der Folgengliederpaare 2n und 2n+1 (ab 2) ist größer Null, somit e^x> 1 + x
hoffe dass ist richtig