Analysis ln -Gleichung lösen und ln-Ungleichung zeigen (LN(x) + LN(y))/2 ≤ LN((x + y)/2) für alle x,y>0 .

Question

Ich hab keinen Schimmer wie das gehen soll und was am Ende rauskommt, bei mir kommt nur Müll raus...

Und hier auch diese ln Aufgabe.

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Die Ungleichung findest du auch hier: https://www.mathelounge.de/308004/seien-x-y-%E2%88%88-r-0-zeigen-sie-ln-x-ln-y-2-%E2%89%A4-ln-x-y-2

Answer 1

LN(1/2·(e^{x + 3 + LN[2]} - 1)) = 1/2·LN(e^10 - e^5 + 1/4)

LN(1/2·(e^{x + 3 + LN[2]} - 1)) = LN((e^10 - e^5 + 1/4)^{1/2})

1/2·(e^{x + 3 + LN[2]} - 1) = (e^10 - e^5 + 1/4)^{1/2}

1/2·(e^{x + 3 + LN[2]} - 1) = (1/4·(2·e^5 - 1)^2)^{1/2}

1/2·(e^{x + 3 + LN[2]} - 1) = 1/2·(2·e^5 - 1)

e^{x + 3 + LN[2]} - 1 = 2·e^5 - 1

e^{x + 3 + LN[2]} = 2·e^5

e^{x + 3}·e^{LN[2]} = 2·e^5

e^{x + 3}·2 = 2·e^5

e^{x + 3} = e^5

x + 3 = 5

x = 2

Comments

(LN(x) + LN(y))/2 ≤ LN((x + y)/2)

LN(x) + LN(y) ≤ 2·LN((x + y)/2)

LN(x·y) ≤ LN((x + y)^2/4)

x·y ≤ (x + y)^2/4

x·y ≤ (x^2 + 2·x·y + y^2)/4

4·x·y ≤ x^2 + 2·x·y + y^2

0 ≤ x^2 - 2·x·y + y^2

0 ≤ (x - y)^2