Wir benutzen die Verkettungsregel:
$$f'(x)=\left( \ln \left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)'$$
Um die Ableitung $$\left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)'$$ zu berechnen, benutzen wir wieder die Verkettungsregel: $$\left(\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \left(\frac{x}{x-3}\right)' \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{(x)'\cdot (x-3)-x\cdot (x-3)'}{(x-3)^2} \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{x-3-x}{(x-3)^2} \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{-3}{(x-3)^2}$$
Wir bekommen also folgendes: $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x-3}}}\cdot \frac{-3}{(x-3)^2} \\ =-\frac{3}{2}\frac{1}{\frac{x}{x-3}}\cdot \frac{1}{(x-3)^2} \\ =-\frac{3}{2}\frac{x-3}{x}\cdot \frac{1}{(x-3)^2} \\ =-\frac{3}{2}\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x-3} \\ =-\frac{3}{2}\frac{1}{x(x-3)}$$
