Es sei gegeben
\(f(x) = \int\limits_{|\xi|=3} \frac{3\xi^2 + 7\xi + 1}{\xi - z} \, d\xi\)
Bestimmen Sie \( f'(1 + i) \).
Problem/Ansatz:
Es ist eher wieder eine Verständnisfrage bzw Kontrolle. Weil an sich geht es nur darum diese Funktion abzuleiten. In dem Fall hätte ich den "Spezialfall der Cauchy-Integralformel" benutzt.
Hier mein Rechenweg:
\(f(x) = \int\limits_{|\xi|=3} \frac{3\xi^2 + 7\xi + 1}{\xi - z} \, d\xi\)
\(f'(z) = \int\limits_{|\xi|=3} \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{3\xi^2 + 7\xi + 1}{\xi - z} \right) \, d\xi\)
\(f'(z) = \int\limits_{|\xi|=3} \frac{3\xi^2 + 7\xi + 1}{(\xi - z)^2} \, d\xi\)
\(f'(z) = 2\pi i \cdot g'(z)\)
\(g'(z) = 6z + 7\)
\(g'(1+i) = 6(1+i) + 7 = 13 + 6i\)
\(f'(1+i) = 2\pi i \cdot (13 + 6i)\)
\(f'(1+i) = 26\pi i - 12\pi\)
Habe ich das richtig angewendet? Weil ich war mir bei diesem Thema allgemein nicht sicher
