Rouché's-Theorem Nullstellen Berechnung

Question

Aufgabe:

Sei f : C → C, bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen (mit Vielfachheit) für
i) f (z) = z^8 − 3z^2 + 1 mit |z| > 1
ii) f (z) = z^7 − 5z^3 + 7 mit 1 < |z| < 2
iii) f (z) = 3z^4 − 7z + 2 mit 1 < |z| < 3/2

Problem/Ansatz:
Also man soll das ganze mit Rouché Lösen, mein ansatz war jetzt folgender:
|h(z)| < |g(z)|

i) Eigentlich wäre ja der dominante term z^ 8 aber ich wen ich das ausrechne dann ergibt das

g(z)= |z^ 8| h(z)=|− 3z^2 + 1 |mit z =1 -> 1 >4 und das würde nicht funktionieren also was mache ich falsch? darf ich es einfach umdrehen? also g(z)=− 3z^2 + 1 und h(z)= z^ 8

dann wäre es ja richtig und ich hätte 2 Nullstellen oder ?

Bei ii) fast das gleiche Problem : Zuerst mit |z| < 2

g(z)= z^7 , h(z)=− 5z^3 + 7  mit |z|=2 hab ich dann : |z|^7 =128 > 47 was ja sinnvoll ist das heißt ich habe 7 Nullstellen aber wie gehe ich jetzt weiter vor ?

bei mit |z|=1

g(z)= z^7 , h(z)=− 5z^3 + 7
kommt 1>8 und das wäre ja auch nicht richtig ?
anders herum also 8>1 was müsste ich da beachten ? Ich habe jetzt ja |z| < 2 , 7 Nullstellen mit selber vermutung von oben bei der i) hätte ich dann ja 3 Nullstellen aber wäre das dan 1<  | z | >1 ?

Und wie komme ich auf die Vielfachheit

Comments

Und wie komme ich auf die Vielfachheit

Der Satz von Rouché zählt die Nullstellen mit ihren Vielfachheiten.

---

Wenn du nach dem Lesen meiner Antwort zu i) für die anderen beiden Aufgaben noch Hilfe brauchst, lass es mich wissen.

Answer 1

Ich mach mal i):

Deine Zerlegung in \(g(z) = z^8\) und \(h(z) = -3z^2+1\) ist richtig.

Die Dominanz bezieht sich hier aber auf die Beträge der Funktionen auf dem Rand des betrachteten Gebietes und nicht auf etwaige höchste Potenzen.

Beachte auch, dass \(|z| > 1\) betrachtet wird, während Rouché eine Aussagen über \(|z| < 1\) liefert.

Zunächst stellen wir fest, dass \(g\) und \(h\) keine Nullstellen auf \(|z| = 1\) haben (Das ist eine Voraussetzung von Rouché.).
Nun schätzen wir ab:

\(|g(z)| = |z|^8 = 1 \) für \(|z|=1\)

Für die Abschätzung von \(h\) kannst du die "umgekehrte" Dreiecksungleichung verwenden:

\(\quad |w-z|\geq ||w|-|z||\)

Auf diese Weise erhältst du:

\(|h(z)| = |1-3z^2| \geq |1 - 3|z|^2 | =|1-3| = 2 > |g(z)|\) auf \(|z| = 1\)

Damit hat \(f=g+h\) genauso viele Nullstellen (einschließlich Vielfachheit) im Inneren von \(|z|= 1\) wie \(h\), also 2 Nullstellen.

Folglich hat \(f\) - gezählt mit Vielfachheit - 6 Nullstellen im Äußeren von \(|z|=1\), also für \(\boxed{|z| > 1}\).

Comments

Erst ein Mal vielen Dank, deine Antwort hilft mir auf jeden Fall schon Mal sehr viel weiter.

Aber wie entscheidet man was dominant ist ?

Also ich hab jetzt:

ii) f (z) = z^7 − 5z^3 + 7 mit 1 < |z| < 2

Hier muss ich jetzt einzeln Untersuchen also ein Mal 1< |z| ( bzw über |z| <1 weil nur darauf der Satz anwendbar ist). und ein Mal |z|<2

Aber wie entscheidet ich den eigentlich was der dominante Term ist? Wählt man das einfach so?

"Die Dominanz bezieht sich hier aber auf die Beträge der Funktionen auf dem Rand des betrachteten Gebietes und nicht auf etwaige höchste Potenzen."

Der Satz hilft mir bei weiter aber das könnte ich ja auf beide beziehen:

1) | − 5z^3 + 7| mit 1 = 13

2)  |x^7+7| mit 1 = 8

Beim prüfen der Nullstellen Bedingung fällt auch keine von beiden weg.

---

Aber wie entscheidet ich den eigentlich was der dominante Term ist? Wählt man das einfach so?

Typische Vorgehensweise:
\(z^n\) lässt sich immer gut auf \(|z|=r\) abschätzen.

Beim restlichen Term schätzt du mit der Dreiecksungleichung bzw. der "umgekehrten" Dreiecksungleichung entweder nach oben bzw. unten ab. Je nachdem, was dabei rauskommt, kann dann entweder \(z^n\) oder der restliche Term betragsmäßig dominant sein.
Das bedeutet insbesonderen, dass bei Kreisringen mal die eine, mal die andere Funktion die dominante sein kann.

Gelegentlich kann man auch den Betrag der Nullstellen des restlichen Terms direkt abschätzen. So stellst du zum Beispiel für die Nullstellen von \(-5z_0^3+7=0\) fest, dass \(|z_0| = \sqrt[3]{\frac 75} \Rightarrow 1<|z_0| < 2\).

1) | − 5z3 + 7| mit 1 = 13

2)  |x7+7| mit 1 = 8

Was du damit meinst, verstehe ich nicht.