Aufgabe:
Der Mitten-Kreis eines Torus liegt in der Ebene \( z = -1 \), sein Mittelpunkt hat die
Koordinaten \( P = (1, 1, -1) \), sein Radius beträgt \( R = 4\sqrt{2} \), und der Torusring hat
den Radius \( r = \sqrt{3} \).
Ermittle ein maximales \( c_1 \) und ein minimales \( c_2 \) so, dass für alle Punkte
\( p = (p_x, p_y, p_z) \) des Torus gilt: \( c_1 \leq p_x + p_y + p_z \leq c_2 \).
Lösung
Die Parametrisierung des Torus ist durch die Winkel \(\phi\) und \(\theta\) gegeben:
\(p_x = 1 + (R + r \cdot \cos(\theta)) \cdot \cos(\phi)\)
\(p_y = 1 + (R + r \cdot \cos(\theta)) \cdot \sin(\phi)\)
\(p_z = -1 + r \cdot \sin(\theta)\)
Dann,
\(p_x + p_y + p_z =1 + 1 - 1 + (R + r \cdot \cos(\theta)) \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) + r \cdot \sin(\theta)\)
\( = 1+ (4\cdot\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot \cos(\theta)) \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) + \sqrt{3}\cdot\sin(\theta)\)
\( = 1+ (4\cdot\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot \cos(\theta)) \cdot (\sqrt{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4} - \phi\right)) + \sqrt{3}\cdot\sin(\theta)\)
\(\sqrt{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4} - \phi\right)\) liegt zwischen \(-\sqrt{2}\) und \(+\sqrt{2}\),
Für das Maximum betrachte \( = 1+ (4\cdot\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot \cos(\theta)) \cdot \sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot\sin(\theta)\)
Für das Minimum betrachte \( = 1+ (4\cdot\sqrt{2} + \sqrt{3}\cdot \cos(\theta)) \cdot (-\sqrt{2}) + \sqrt{3}\cdot\sin(\theta)\)
Stimmt mein Ansatz? Wie könnte man weiterrechnen?
