bestimme 2 positive Zahlen x und y so, dass das Produkt P der beiden Zahlen maximal wird, während ihre Summe 18 ergibt.

Question

Aufgabe:

bestimme 2 positive Zahlen x und y so, dass das Produkt P der beiden Zahlen maximal wird, während ihre Summe 18 ergibt. Bestimme auch dieses maximale Produkt

Answer 1

x + y = 18 → y = 18 - x

P = x * y = x * (18 - x)

P = - x^2 + 18x

P = - (x^2 - 18x)

P = - (x^2 - 18x + 9^2 - 9^2)

P = - (x^2 - 18x + 9^2) + 9^2

P = - (x - 9)^2 + 81

Das maximale Produkt 81 ergibt sich für x = 9.

Answer 2

Aufgrund der Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel gilt

$$xy \leq \left(\frac{x+y}2\right)^2 = 9^2 = 81$$

Gleichheit gilt genau dann wenn \(x=y=9\).

Answer 3

\(P(x) = - x^2 + 18x\)

\(P´(x) = -2 x + 18\)

\(-2 x + 18=0\)

\(x=9\)

 \(P(9) = - 9^2 + 18*9=-81+162=81\)