Hi ggT, was genau meinst Du mit "Restpolynom", davon habe ich noch nie gehört. Meinst du vielleicht das "\(n\)-teRestglied zum \(n\)-ten Taylorpolynom"?
Das Restglied ist kein Polynom, sondern eine Fehlerfunktion. Im Grunde genommen kannst du ja bei jeder Funktion schreiben: \(f(x)=f(a)+\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} (x-a)^{k}+E_n(x-a)\) für irgendwelche \(a_k\)-s, und deine selbstgebaute "Approximation" könnte beliebig ungenau werden, da das Restglied alle Ungenauigkeiten einfach auffängt. Der große Clue ist, dass bei den Taylorpolynomen das Restglied abschätzbar ist und mit größerem \(n\) (für angemessenes \(f\)) immer kleiner wird. Im "Satz von Taylor", wie man ihn im Lehrbuch kennt, kann man das Restglied als ein Integral schreiben, das man dann sehr primitiv oder auch intelligenter abschätzen kann, um Fehlergarantien zu bekommen. Wenn du diese Integralformel für das Restglied meinst, die kann man per Induktion beweisen, und ein möglicher Beweis findet sich auf Wikipedia.
