Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Verteilung der Zufallsvariable.

Question

Quantitative Methoden 1
Aufgabe für die Studienleistung 5
Aufgabe 1
Gegeben ist eine Laplace-Wahrscheinlichkeit von \( p=0,1 \) aus einem Zufallsexperiment mit den Elementarereignissen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Verteilung der Zufallsvariable.

Aufgabe 2
Eine Zufallsvariable \( X \) hat zwei mögliche Ausgänge (Erfolg vs. Misserfolg). Außerdem hat sie einen Erwartungswert von 2 und eine Varianz von 4/3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Erfolge \( k=2 \) ? Zusätzlich ist gegeben: \( n=6 \). Überlegen Sie zunächst, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung Sie zur Lösung der Aufgabe benötigen.

Aufgabe 3
Stimmen Sie folgender Aussage zu?
Das Berechnen einer Laplace-Wahrscheinlichkeit mit gezinkter Münze macht Sinn.

Comments

Bei 1) wie berechnet man den Erwartungswert? Einfach in die Formel einsetzen

Bei 2) welche Verteilung liegt vor und wie werden EW und Varianz dafür berechnet? Da die Werte gegeben sind, kann man dann dieFragen beantworten

Bei 3) was ist die Voraussetzung, um Laplace-Wahrscheinlichkeiten zu nutzen?

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Wer Aufgabe 2 formuliert hat, der sollte keine Mathematik unterrichten.

Answer 1

1)

E(X) = 1·0.1 + 2·0.1 + 3·0.1 + 4·0.1 + 5·0.1 + 6·0.1 + 7·0.1 + 8·0.1 + 9·0.1 + 10·0.1 = 5.5

V(X) = (1 - 5.5)^2·0.1 + (2 - 5.5)^2·0.1 + (3 - 5.5)^2·0.1 + (4 - 5.5)^2·0.1 + (5 - 5.5)^2·0.1 + (6 - 5.5)^2·0.1 + (7 - 5.5)^2·0.1 + (8 - 5.5)^2·0.1 + (9 - 5.5)^2·0.1 + (10 - 5.5)^2·0.1 = 8.25

2)

Ich würde es mit einer Binomialverteilung mit den Parametern n = 6 ∧ p = 1/3 ∧ q = 2/3 versuchen.

P(genau 2 Treffer) = (6 über 2)·(1/3)^2·(2/3)^4 = 80/243 ≈ 0.3292

3)

Bei der Laplace Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Elementarereignis gleich groß. Daher macht es bei einer nicht fairen Münze (bei der Kopf und Zahl eine andere Wahrscheinlichkeit als 1/2 besitzen) keinen Sinn hierfür die Laplace Wahrscheinlichkeit zu verwenden.

Comments

Ich würde 2 so rechnen.

n*p= 2

n= 2/p

n*p*(1-p) = 4/3

2/p*p*(1-p) = 4/3

2-2p = 4/3

2p= 2/3

p= 1/3

1-p = q= 2/3

P(X=2)  Das wurde schon berechnet.

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Mach es dir nicht so schwer. n = 6 wurde in der Aufgabe vorgegeben. μ = n·p wird damit zu 2 = 6·p und kann ganz flink nach p aufgelöst werden.

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Ich dachte, man soll diese Angaben dazu benutzen:

Außerdem hat sie einen Erwartungswert von 2 und eine Varianz von 4/3.

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Du kannst natürlich alle Angaben benutzen, die in der Aufgabe gegeben sind. Wenn redundante Informationen vorhanden sind, empfehle ich sie aber zu prüfen.

Wenn nur μ und σ² gegeben sind gibt es allerdings noch einen sehr einfachen Weg.

μ = n·p

in die Formel der Varianz einsetzen und nach p auflösen

σ² = n·p·(1 - p) = μ·(1 - p) --> p = 1 - σ^2/μ

Das in die Formel des Erwartungswerts einsetzen und nach n auflösen.

μ = n·(1 - σ^2/μ) --> n = μ^2/(μ - σ^2)