Für Mengen A,B ⊆ ℤ definieren wir:
A + B =def {z | es gibt ein x ∈ A und y∈ B mit z = x + y}
A.B = def {z | es gibt ein x ∈ A und y ∈ B mit z = x.y}
Weiterhin sei Ξ ⊆ℤ2 die Kongruenzrelation modulo 11.
a.Bestimmen Sie {2,3,4}.{1,2,3}.
Hier ist A={2,3,4} und B = {1,2,3}
Mit . dürfte die Multiplikation in Z gemeint sein.
Nun kann man die Elemente von A.B berechnen: Alles, was sich als Produkt von einem Element aus A und einem aus B berechnen lässt, gehört hier dazu. (Gemäss Definition)
A.B = {2*1,3*1,4*1, 3*1, … 4*3} = |mehrfache nur einmal aufführen und sortieren
= {1,2,3,4,6,8,9,12}
Da bei Aufgabe a. noch nichts von modulo 11 steht, ist das hier fertig, zudem musst du die 12 stehen lassen.
b.Bestimmen Sie [4] Ξ + {-11,0,11}.
Hier ist A = [4] Ξ und B = {-11,0,11}
Hier ist A = [4] Ξ = { …-18, -7,4, 15, 26,…}
Die Restklasse von 4 modulo 11. D.h. Alles, was bei Division durch 11 den Rest 4 hat.
und B = {-11,0,11}
[4] Ξ + {-11,0,11} = { …-18, -7,4, 15, 26,…} + {-11,0,11} =
{ … -29, -18, -7, -18, -7, 4, -7, 4, 15, 4, 15, 26,…} =
{ …-29, -18, -7,4, 15, 26,…} = [4] Ξ
Ich hoffe, du verstehst jetzt, was gemeint ist, und kannst den Rest selbst lösen.
Beachte:
c. Musst du korrigieren, sonst klappt das nicht!
c.Zeigen Sie, dass [x+y]≡ = [x]≡ +[y]≡ für alle x,y ∈ ℤ gilt.