Finanzmathematik: Nachschüssige Rentenrechnung mit Schulden

Question

Aufgabe:

Sie wollen heute (t=0) mit dem Sparen beginnen. Sie zahlen auf Ihr neu eröffnetes Konto jährlich für 15 Jahre eine Rente in Höhe von 400 € nachschüssig ein. Allerdings heben Sie bereits heute einmalig 1000 € von dem Konto ab, da Sie noch Schulden bei einem Bekannten haben.

Wie hoch ist ihr Kapital zu Beginn des 21. Jahres, wenn sich das Konto mit 6% p.a. verzinst und der Kapitalmarkt vollkommen ist?

Problem/Ansatz:

Leider finde ich keinen Ansatz um dieses Problem zu lösen.

Comments

Zuerst solltest Du Dir klar werden, ob die Einzahlungen monatlich oder jährlich stattfinden.

Und dass mit "Kapitalmarkt vollkommen" gemeint ist, dass Sollzinssatz = Habenzinssatz.

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Danke für den Hinweis! Habe die Aufgabenstellung geändert!

Answer 1

Rente in Höhe von 400 €

r=400

Allerdings heben Sie bereits heute einmalig 1000 € von dem Konto ab

\(S_0 = 1000\)

wenn sich das Konto mit 6% p.a. verzinst und der Kapitalmarkt vollkommen ist?

\(q=1.06\)

Um die Schulden in \(t\) Jahren durch die Ratenzahlung zu tilgen, muss der Endwert der Rente \(S_0\cdot q^{t}\) betragen. Lösen der Gleichung

        \(r\cdot\frac{q^{t}-1}{q-1}= S_0\cdot q^{t}\)

nach \(t\) ergibt

        \(t=\frac{\ln \frac{r}{r-S_0\left(q-1\right)}}{\ln q}\).

\(t\) wird auf volle Jahre aufgerundet zu \(m\).

Kapital nach \(m\) Jahren beträgt dann

        \(K_{m} = r\cdot\frac{q^{m}-1}{q-1} - S_0\cdot q^{m}\).

jährlich für 15 Jahre eine Rente

Dann ist

       \(K_n = K_{m}\cdot q^{n-m} + r\cdot\frac{q^{n-m}-1}{q-1}\)

für alle \(n\) mit \(4\leq n\leq 15\) und

        \(K_{n} =K_{15}\cdot q^{n-15}\)

für alle \(n\) mit \( n> 15\).

Wie hoch ist ihr Kapital zu Beginn des 21. Jahres

Gesucht ist \(K_{20}\).

Comments

Ich sehe gerade, dass

        \(K_{20} = \left(r\cdot\frac{q^{15}-1}{q-1}-S_0\cdot q^{15}\right)\cdot q^{20-15}\)

ist. Man braucht sich also nicht wirklich darum kümmern, wann das Konto erstmals ausgeglichen ist. Stattdessen muss man nur zwischen Ratenzahlung und einfachem Zinseszins unterscheiden.

Answer 2

Verzinse in der ersten Periode den Saldo von -1000.

Verzinse in der zweiten Periode den Saldo von -1000 plus Zinsen aus Periode 1 (negativ) plus 400 (Einzahlung Ende Periode 1).

Verzinse in der dritten Periode den Saldo von Ende Periode 2 plus 400 (Einzahlung Ende Periode 2).

... usw.

Verzinse in der 20. Periode den Saldo von Ende Periode 19 plus 400 (Einzahlung Ende Periode 19).

Addiere 400 (Einzahlung Ende Periode 20).

Ergänzung:

Da die Aufgabe nachträglich abgändert wurde, gelten die Einzahlungen nur 15 Jahre lang.

Comments

Geht die Rechnung nicht auch kürzer? Z.B. mit der Rentenbarwertformel?

Man könnte doch eventuell zuerst den Rentenbarwert berechnen. Diesen dann mit den 1000€ in t=0 verrechnen und das ganze mit 1.06^21 verzinsen oder?

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Deshalb steht der letzte Satz in meiner Antwort.

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Du änderst ja sogar Deine Kommentare nachträglich ab. Mein vorheriger Kommentar macht nun keinen Sinn mehr.

So lässt sich nicht kommunizieren, ich bin hier raus.

Answer 3

Ich würde da so rechnen.

1. Zeit bis Konto auf 0 ist:

1000*1,06^n = 400*(1,06^n-1)/0,06

n= 2.79 Jahre

2.Kontostand nach 3 Jahren:

400*(1,06^3-1)/0,06 - 400*(1,06^2,79-1)/0,06 = 96.57

96,57*1,06^17+ 400*(1,06^12-1)/0,06 *1,06^5= 15362,10

Comments

400*(1,06³-1)/0,06 - 400*(1,06^2,79-1)/0,06 = 96.57 

Die Schulden, die am Anfang des dritten Jahres auf dem Konto liegen, werden ein ganzes Jahr lang verzinst, weil die Rate erst am Ende des dritten Jahres gezahlt wird. Es müssen deshalb 1000·1.06³ vom Endwert der Rente subtrahiert werden, nicht nur 400·(1,06^2,79-1)/0,06.

96,57*1,06¹⁷+ 400*(1,06¹²-1)/0,06 *1,06⁵= 15362,10

Laut meiner Rechnung ergibt der Term auf der linken Seite 9290,36.

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Zwei Fehler die hier gemacht wurden:

1. Unterjährig werden keine Zinsen gezahlt.

2. Die Berechnungsformel wurde vermutlich falsch in den TR eingetippt.

Korrekte Lösung wäre wie bei Oswald herauskommen:

∑ (x = 1 bis 15) (400·1.06^(15 - x))·1.06^5 - 1000·1.06^20
= 400·(1.06^15 - 1)/0.06·1.06^5 - 1000·1.06^20
= 9252.26 €

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1. Unterjährig werden keine Zinsen gezahlt.

Müssen sie verrechnet werden bis zu dem Tag, an dem die Überziehung zins-und rückzahltechnisch beendet ist. Es wird gewöhnlich taggenau abgerechnet. Sobald der (fiktive) Gegenwert erreicht, beginnt das eigentliche Sparen. Das war meine Überlegung.

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@Louisa04

Man kann alle Ein- und Auszahlungen getrennt auf den Endwert verzinsen und dort verrechnen.

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Das ist mir bekannt. Müsste aber dennoch nicht dasselbe herauskommen?

Ich komme nach nochmaligem Rechnen nun auf: 9212,59

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Mit den Rentenformeln für jährliche Zahlweise darf man nicht unterjährig arbeiten. Wie gesagt hat man unterjährig keine Zinseszins-Effekte. Unterjährig stimmen also die Ergebnisse also nie.

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Ich muss nur Zinsen zahlen, bis die Schuld abgedeckt ist. Die Bank darf sie nur bis dahin verlangen. Man kann anteilig verzinsen ohne Zinseszinseffekt, indem ich den entsprechenden Anteil des Jahres verwende. Wo entsteht da ein Zinseszinseffekt?

Mein 1. Ergebnis kann ich leider nicht korrigieren.

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Ich muss nur Zinsen zahlen, bis die Schuld abgedeckt ist.

Da unterjährig keine Zahlungen stattfinden bist du erst nach vollen 3 Jahren und nicht nach 2.8 Jahren nicht mehr im Minus.

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Da unterjährig keine Zahlungen stattfinden

Real nicht, aber fiktiv sind die Schulden doch früher weg, weil Gegendeckung da ist, oder?

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Real nicht, aber fiktiv sind die Schulden doch früher weg, weil Gegendeckung da ist, oder?

Versuche das, das nächste Mal deinem Bankberater zu verklickern, wenn er meint, du hättest noch Schulden. Na ja, real vielleicht schon, aber fiktiv sind die ja weg, weil Gegendeckung da ist.

Annika hat momentan 5 Euro in ihrem Sparschwein und sie nimmt sich vor, ab jetzt alle 7 Tage 7 Euro hinzuzutun.

Wann hat Annika genau 98 Euro in ihrem Sparschwein, für die sie sich eine neue Jeans kaufen möchte?

x + 5 = 98 --> x = 93 Tagen

Ist nach genau 93 Tagen die richtige Antwort?

Bedenke, dass die Funktion nur gültige Funktionswerte annimmt, wenn x eine durch 7 teilbare Zahl annimmt. Und hier sind nicht einmal irgendwelche Zinsen im Spiel.

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Als Kunde erwarte ich, dass der Kredit als abbezahlt gilt sobald genug Geld incl. Zinsen auf dem Konto ist. Die Bank tut es ja auch: Sie verlangt sofort taggenau Zinsen, sobald das Konto mit einem Cent im Minus ist. Denn das ist ihr lukrativstes Geschäft. Mehr Zinsen bekommt sie nirgend. Der Dispokredit liegt wieder über 10% und kann weiter darüberhinaus gehen. Darum meide ich ihn, wo ich nur kann. Richtig teuer wird es, wenn man über den Dispo hinaus geduldet überzieht.

Dazu lese ich im Netz:

Bis zu 17,2 Prozent Dispozinsen bei Banken steigen weiter
Stand: 13.03.2024 12:56 Uhr
Die Dispozinsen klettern immer höher: "Finanztest" zufolge berechnen einige Finanzinstitute derzeit bis zu 17,2 Prozent. Drei Viertel verlangen mehr als der Durchschnitt fürs Konto überziehen.

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Du hebst bei t = 0 1000 Euro vom Konto ab und zahlst bei t = 1 und t = 2 jeweils 400 Euro ein. Wie lautet der Kontostand bei t = 3 vor und nach der Einzahlung von 400 Euro?

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Mir ging es darum, wann der Kredit defacto getilgt ist.

Übrigens glaube ich nicht, dass es solche Sparprodukte gibt, bei denen man mit Schulden startet. Sparen wollen und zugleich Schulden machen ist widersprüchlich. Sparvertrag heißt Sparvertrag. Die Aufgabe ist also realitätsfern. Welche Bank lässt einen ohne Sicherheit sofort das Konto überziehen? Sparkonten kann man nicht überziehen. Daher gibt es meines Erachtens solche Produkte nicht.

Konto jährlich für 15 Jahre eine Rente in Höhe von 400 € nachschüssig ein.

Statt Rente sollte es Rate heißen.

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Ich gebe dir recht, dass diese Aufgaben keine realitätsgetreuen Aufgaben sind. Sie basieren also alle aus vereinfachten Annahmen. Auch ein fester Zins über 20 Jahre ist genau so unrealistisch wie fehlende Verwaltungsgebühren für ein Konto.

Darum geht es aber auch nicht. Denn wer nicht in der Lage ist diese vereinfachten Beispiele zu berechnen, der wird es bei komplizierteren realen Gegebenheiten eben auch nicht hinbekommen.

Aber ich würde sagen, da können wir die Diskussion auch beenden, denn jetzt geht es nicht mehr darum, wie man sowas berechnet. Ich habe darauf hingewiesen, dass Rentenformeln nicht gemacht sind, unterjährig richtige Ergebnisse zu berechnen. Das ist im Detail viel schwieriger, wenn man unterjährig z.B. nur eine einfache Verzinsung zugrunde legt.

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Auch ein fester Zins über 20 Jahre

Außer bei Baufinanzierungen, da gibt es feste Zinsen von der Bank über lange Zeiträume. Bei Sparverträgen wird angepasst, was auch in den Verträgen stehen muss.

Guten Rutsch!