Oberes, unteres Quantil Definitionsfrage

Question

Aufgabe:

Unteres Quantil: $$q_{{X}}^{-}(t)=\sup \{x \mid P[X<x]<t\}=\inf \{x \mid P[X \leq x] \geq t\}$$

Oberes Quantil: $$q_{X}^{+}(t)=\inf \{x \mid P[X \leq x]>t\}=\sup \{x \mid P[X<x] \leq t\}$$

Problem/Ansatz:

Vielleicht verwirre ich mich selber gerade, aber angenommen t=5 dann betrahcte ich bei dem unteren Quantil doch alles was bis t=5 geht. Und bei dem oberen Quantil alles was über t=5 ist oder?

So wie in dem Bild unten oder?

Comments

Es kann nicht \(t=5\) gelten, weil \(t\) eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 ist.

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Pardon ich hab das Prozent vergessen

Answer 1

Nein. Bei

        \(q_{{X}}^{-}(t)=\ldots =\inf \{x \mid P[X \leq x] \geq t\}\)

betrachtest du alles was über \(t\) ist. Bei

        \(q_{{X}}^{+}(t)=\ldots =\sup \{x \mid P[X < x] \leq t\}\)

betrachtest du alles was bis \(t\) geht.

angenommen t=5

\(t\) wird mit einer Wahrscheinlichkeit verglichen, zum Beispiel "P[X ≤ x] ≥ t". Da macht \(t=5\) nicht viel Sinn.

Comments

Sieht das dann so aus?

Das hatte ich erstellt für den Vortrag. Eben als ich es durchgehen wollte ist mir irgendwie die Sache unklar gewesen

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Die Antwort trägt meiner Meinung nach nur zur weiteren Verwirrung bei, denn bei Quantilen handelt es sich nicht um Bereiche. Es ist daher also nicht sinnvoll hier von "alles über" oder "alles bis" zu sprechen.

Das untere \(t\)-Quantil sind die unteren \(t\) Prozent. Da macht es intuitiv ebenso keinen Sinn zu sagen, dass man alles über \(t\) Prozent betrachtet.

Sieht das dann so aus?

Die Legende ist irreführend. Die markierten Bereiche sind - siehe oben - nicht die Quantile. Die Quantile sind die entsprechenden Grenzen! Deswegen sind sie ja also \(\sup\) bzw. \(\inf\) definiert, also als größte untere bzw. kleinste obere Schranke.

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Ja deswegen sind da ja Pfeile an die Grenzen. Und die bereiche sollen nur die Wahrscheinlichkeiten ohne sup oder inf sein

Aber das ist so richtig verstanden? Das wo die Pfeile dran sind sind die richtigen Quantile? Danke! :)

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Zusätzlich zu der von Apfelmännchen schon angesprochenen irreführenden Legende wird bei stetigen Zufallsvariablen auch der Unterschied zwischen unterem und oberen Quantil nicht deutlich. Zum Beispiel ist

        \(q^+(0.05) = q^-(0.05) \approx -1.64 \)

bei der Standardnormalverteilung.

Verwende stattdessen eine diskrete Verteilung, zum Beispiel die Binomialverteilung.

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Vom Prinzip ja. Allerdings passt deine Definition vom oberen Quantil gar nicht. Entweder dreht man die Ungleichzeichen in der Wahrscheinlichkeit um oder man arbeitet mit \(1-t\) als Wahrscheinlichkeit.

wird bei stetigen Zufallsvariablen auch der Unterschied zwischen unterem und oberen Quantil nicht deutlich

Eben, weil die Definition des oberen Quantils nicht korrekt ist.