kleinster umfang eines rechtecks

Question

Aufgabe:

Rechtecksumfang

Ein Rechteck hat die Fläche A.Aufgabenstellung:Kreuze den kleinsten Umfang jenes Rechtecks an

zum ankreuzen gibt es

4 mal wurzel aus A

A dividiert durch 4

4A

Wurzel aus A

2l plus 2b

2 mal wurzel aus A

Problem/Ansatz:

… wie kommt man darauf was man ankreuzen muss?

Answer 1

A= a*b

a= A/b

U= 2(a+b)

U(b)= 2*(A/b+b) = (2A)/b + 2b

Nun setze ich die Ableitung U'(b) = 0

-(2A)/b^2 +2 = 0

-2A= -2b^2

b^2= A

b= √A

Umin = 2(a+√A)  = 2*(A/√A+√A) = 2*(√A+√A) = 4√A

weil: A/√A = A*√A/A = √A (Nenner rational gemacht und gekürzt)

Answer 2

Ein Rechteck hat die Fläche A.Aufgabenstellung:Kreuze den kleinsten Umfang jenes Rechtecks an

Wenn man 2 oder 3 Aufgaben dieser Art gelöst hat, dann weiß man, dass von allen Rechtecken, mit gleicher Fläche A, das Quadrat den kleinsten Umfang hat.

Also

A = a^2 → a = √A

U = 4·a = 4·√A

Answer 3

Indem man das Extremwertproblem löst.

Geg.: \(A=a\cdot b\).

Minimiere \(U=2a+2b\) (dazu die geg. Gleichung umstellen nach \(b\) und in \(U\) einsetzen).

Comments

Wenn man keine Ahnung hat, dann löst man solche Aufgaben am besten nach dem Prinzip "Die am häufigsten genannte Bedingung gehört zur Antwort".

Im konkreten Fall heißt das hier :
Eine Summe kommt nur einmal vor, also scheidet #5 aus.
Eine Wurzel kommt viermal vor, also gehört sie zur Antwort : #3 und #4 sind draußen.
Faktor 4 kommt häufiger als Faktor 2 oder Divisor 4 vor, also können es #2 und #6 nicht sein.

Man sollte #1 ankreuzen.