Größtmöglicher Flächeninhalt eines Rechtecks an einer Mauer (Zaun = 1m lang)

Question

Ich soll das maximal große Flächenstück berechnen, das mit einem 1m langen Zaun an einer Mauer begrenzt werden soll. Dabei ist die lange Seite a und die kürzere Seite b.
So weit habe ich bisher gerechnet, ich komme jedoch nicht wirklich auf ein Ergebnis:
U = 100cm = 2b + a 
(Nur 1a, da eine Seite wegfällt, denn eine Seite ist die Mauer, hier muss kein Zaun hin)
A = ab
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U = 100cm = 2b + a | -2b U = 100cm - 2b = a
A = (100 - 2b) * b A = 100b - 2b² A' = 100 - 4b
0 = 100 - 4b | +4b 4b = 100      | /4 b = 25
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A = (100 - 2b) * b A = (100 - 2*25) * 25 A = 50 * 25 A = 1250 cm²
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Frage: 1.) Ist mein Rechenweg, bzw. mein "Ergebnis" soweit richtig? 2.) Die Aufgabe enthält den Teil "[...], dabei ist die lange Seite a und die kürzere Seite b. [...]". Nun ist es doch aber so, dass der größte Flächeninhalt besteht, wenn die Seiten alle gleich lang sind, also wäre die Aufgabe gar nicht lösbar, wenn man den GRÖßTEN Flächeninhalt berechnen soll, aber a die lange Seite sein soll (denn beide Seiten, a und b, müssten doch gleichgroß sein für den größten Flächeninhalt) oder verstehe ich was falsch?
mfG

Answer 1

Dein Rechenweg scheint zu stimmen, denn ich komme auf das gleiche Ergebnis :-D

Ich empfehle immer, eine Skizze zu machen, sofern dies möglich ist - hier ist es möglich:


Die zu maximierende Fläche ist
I. A = a * b
Die gegebene Nebenbedingung ist
II. 2b + a = 1, also a = 1 - 2b

Wir setzen II in I ein und erhalten:
A = f(b) = (1 - 2b) * b = b - 2b² = -2b² + b
Um ein Extremum zu finden, setzen wir die 1. Ableitung dieser Funktion = 0:
f'(b) = -4b + 1 = 0
-4b = -1 | : (-4)
b = 1/4
Ist an dieser Stelle ein Maximum oder ein Minimum? Um dies herauszufinden, bilden wir die 2. Ableitung und setzen dort 1/4 ein:
f''(b) = -4
f''(1/4) = -4 < 0 | Also liegt ein Maximum an der Stelle b = 1/4 vor.
Nach II ist also a = 1 - 2 * 1/4 = 1 - 2/4 = 1/2

Wir setzen diese Werte in I ein und erhalten eine Fläche von
A = a * b = 1/2m * 1/4m = 1/8m²
was Deiner Lösung entspricht!

Zur Probe könnte man nun a ein wenig vergrößern/verkleinern und b ein wenig verkleinern/vergrößern (immer unter der Nebenbedingung 2b + a = 1) - das spare ich mir aber jetzt :-D

Besten Gruß

Comments

Aber das Problem ist dann aber ich habe doch 1m Zaun (2b + a), b ist, wenn dann die beiden bSeiten 50cm umfassen und a 25cm (1/4), dann wären 25cm Zaun doch ungenutzt, weil nur 3/4m hierbei genutzt werden o.O

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Siehe meine Antwort. Fülltext.

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Hallo Gast ii151,

jetzt war ich auch etwas verwirrt :-)

Die umzäumte Fläche (wobei eine Seite durch die Mauer begrenzt wird) beträgt 1/8m² = 1250cm², wie richtig von Dir und georgborn berechnet.

Nun zu Deiner Rückfrage:

Die Länge des Zauns beträgt a + 2b = 1/2m + 2 * 1/4m = 1/2m + 1/2m = 1m

Das passt zur Aufgabenstellung.

Dass Du eine Zaunseite sparst, wie von georgborn ausgeführt, ist ja, wenn man sich obige Skizze ansieht, auch unmittelbar einleuchtend, nicht wahr?

Besten Gruß

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Ja, hab's auch gemerkt, habe nur auf die Flächenberechnung (a*b) geschaut wo es 50*25 heißt, das wären 75cm, aber der Umfang besteht ja aus a (50cm) und 2b (25cm * 2 = 50cm) womit wir wieder bei 100cm sind, war also alles korrekt. :P

Danke an alle! :)

Answer 2

@ii151
Du hast zunächst richtig gerechnet
b = 25 cm
a = 50 cm
L = 2 * b + a = 100 cm
A = 1250 cm²

Wenn du der Meinung bist ein Quadrat sei
in diesem Fall die größtmögliche Fläche dann rechne
3 * a = 100 cm
a = 33.3 cm
A = a² = 33.3² = 1111.11 cm²
Deine Vermutung stimmt also nicht.

Für ein Rechteck bei dem alle 4 Seiten aus
Zaun bestehen gilt :
U = 2 * a + 2 * b = 100
2b = 100 - 2*a
b = 50 - a
A = a*b = a * ( 50 - a )
A = 50a - a²
A ´ = 50 - 2a
50 - 2a = 0
a = 25
b = 25
Ergibt ein Quadrat.

In deiner Aufgabe ist eine Seite ( die Mauer )
kostenlos mit dabei und braucht bei der
Zaunlänge nicht berücksichtigt werden.