> Wie breit und lang ist das Gehege
Das Gehege ist y Meter lang und x Meter breit. Der Flächeninhalt ist dann x·y m2.
> rechteckiges 500m2 Gehege
Also ist x·y = 500 und somit y = 500/x.
> möglichst wenig Zaun
Es werden 2x + 2y Meter Zaun benötigt.
Setzt man y = 500/x ein, dann bekommt man 2x + 1000/x. Also soll
U(x) = 2x + 1000/x
möglichst klein sein. Berechne den Tiefpunkt diese Funktion um x zu bestimmen. Setze in y = 500/x ein um y zu bestimmen.
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Ein alternativer Ansatz, der ohne Differentialrechnung auskommt:
Ein Rechteck habe den Umfang 4a. Wann ist der Flächeninhalt möglichst groß?
Wenn die eine Seite des Rechtecks die Seitenlänge a+z hat, dann muss die andere Seite die Länge a-z haben (weil 2(a+z) + 2(a-z) = 4a ist).
Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist (a+z)(a-z) was nach dritter binomischer Formel einen Flächeninhalt F mit
F = a2 - z2
ergibt. Wann ist F möglichst groß? Wenn z2 möglichst klein ist (dann wird ja von a2 möglichst wenig abgezogen). Der kleinste Wert für z2 ist 0, weil z2 nicht negativ werden kann, und 02 = 0 ist.
Wenn z = 0 ist, dann handelt es sich um ein Quadrat mit Seitenlänge a.
Zusammengefasst bedeutet das, unter allen Rechtecken ist dann das Verhältnis aus Flächeninhalt und Umfang möglichst groß, wenn es sich um ein Quadrat handelt. Deine Aufgabe hat also x = y = √500 als Lösung .
